高等数学。
注意事项：1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）
1.若函数在在处连续，则（ c ）
a. 0b. 1c. 2d. 3
解：由得，故选c.
2.当时，与函数是等价无穷小的是（ a ）
a. b. c. d.
解：由，故选a.
3.设可导，则=（ d ）
a. b. c. d.
解：,故选d.
4.设是的一个原函数，则（ b ）
a. b. c. d.
解：因是的一个原函数，所以，所以。
故选b.5.下列级数中收敛的是（ c ）
a. b. c. d.
解：因，所以收敛， 故选c.
6.交换的积分次序，则下列各项正确的是（ b ）
ab. cd.
解：由题意画出积分区域如图：故选b.
7.设向量是非齐次线性方程组ax=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ d ）
a. b. c. d.
解：因同理得。
故选d.8.已知向量线性相关，则（ d ）
a. -2b. 2c. -3d. 3
解： 由于线性相关，所以，因此。
9.设为事件，且则（ a ）
a.0.2b. 0. 4c. 0.6d. 0.8
解： 10.有两个口袋，甲袋中有3个白球和1个黑球，乙袋中有1个白球和3个黑球。现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球，则取出白球的概率是（ b ）
abcd.
解： 由全概率公式得
二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)
11．设函数，则函数的定义域为。
解：.12．设曲线在点m处的切线斜率为3,则点m的坐标是。
解：，由，从而，故填。
13．设函数，则。解：,.
解：.15． =e .
解：.16．幂级数的收敛域为。
解：由。得级数收敛，当时，级数为收敛； 当时，级数为发散；
故收敛域为。
17．设a是n阶矩阵，e是n阶单位矩阵，且则。
解： 18．设，记表示a的逆矩阵，表示a的伴随矩阵，则。
19．设型随机变量且则=.
解：由正态分布的对称性得。
20、设型随机变量在区间上服从均匀分布，则方差。
解：直接由均匀分布得。
三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。
21．计算极限。
解：原式=
22．求由方程确定的隐函数的导数。
解：两边取对数得，两边求导得，从而。
23．计算定积分。
解：令，则当时，;当时，.
所以原式= =
24．求微分方程的通解。
解：原方程可整理为。
这是一阶线性微分方程，其中。
所以原方程的通解为。
25．计算二重积分，其中是由直线所围成的区域。
解：区域d如图阴影部分所示。
故。26．设矩阵，且满足，求矩阵x.
解：由可得。
因，所以可逆，因此。
27．设行列式，求在处的导数d(0).解： 故。
从而。28．已知离散型随机变量x的密度函数为且数学期望。
求： (1) a的值； (2) x的分布列；(3)方差d(x )．
解：(1) 由分布函数的性质知，随机变量x的可能取值为，且。因。所以。
2) 由（1）即得x的分布列为。
3) ,四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
29．设，其中可微，.
证明：因为。故。9分)
30．设d是由曲线及x轴所围成的的平面区域。
求： (1) 平面区域d的面积s; (2) d绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积v．
解：区域d如图阴影部分所示。曲线与x轴及。
的交点坐标分别为。
1）平面区域d的面积。
2）d绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积v
31．证明不等式：当时，.
证明： 设，则，所以上单调递增，从而当当时，有。
即，即；令，则，所以上单调递减，从而当当时，有。
即，从而。综上所述：当时，有。
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