２０１年第６期数学教学—７
数学问题与解答。
０１１年第４期问题解答。
２１．如图ｌ，ｊ是ａａｂ内一点，满足ａｂ
０。；同理可证，不论。**段ｊｅ｝上还是在。
是边。ａｂｃ内，都有ｚａｂ故ａｂ和ａｅｂ
上—‘点，且ｂｅ＝求证：ａｂ和△ ｂ
的外接圆相切．
的外接圆相切．
求证：５１（厂。
设。４３３竹湖北省潜江市江汉油田高级中学。
舒云水供题）＝≥证：设。
口：，ｐ一。
当ｎ＝２时。
图１１ａ３假设ｎ一一１，（七≥３）时，（４河南省方城县博望二中向中军。
１ａｋ一１，５那么由供题）
一 ＋ｑ一一９）一ｐ４ｑ一一证：作ａａｄ关于对称的△ ｆ连。
４ｐ４一一９＝７一ｐ４ｑ一 ＋结ｄｆ．取△ｅｂ的外心（二），连结《二）ｂ、设。
４一一一贝０
ｋ一１＋４知５１ａ按数学归纳法，命题成立．
ｄ．又 ｂ＝故△ｆ§坌。
２３．设正数ａ、ｂ满足试所以△ｆｄ为等求的最小值．
边三角形从而易知。
２２５江苏省兴化市第一中学。张俊供。
题）显然一ｑ，故 ｂｄ
解：先证一①
６０。一２（９一。
事实上。ｃｂ＝一 ．ａ一＆．ａ
９０。一ｏｔ）一 ）一１２０一２ａ．
由三元平均不等式得’
一ｏｌ．
假如（二）、分居ｂ 两侧，贝０ｂｏ
＋７×得故。一。一。
成立．且ａ—ｃ时取等号．
一３０。从而。
同理当ｃ＝ｂ时取等。
一五８数学教学２０１年第６期。上。
号，所以。
峙。 否丽≥｛（
则一０ａ上一ｏｂ则。
一。焉．故有原式＝故有原式＝
（ｃ＋言故当 ＝６
＝时，ｉｊ 歹。
取最小值 ．
２４．定义一个数集的和是该集合中所有元。
一。０１１年第６期问题。
２６．如图２，ａ且ａｂ、均为定。
素的和．设是由一些不大于１５的正整数所组。
成的集合，且ｓ中任意两个不相交的子集有不同的和，求具有这个性质的集合的和的最大值．
２００上海市延安中学张雄供题）
解：首先由题设可推知，ｓ的任意两个不同的子集有不同的和．这是因为，若的两个不同子集有相同的和，则扣除它们的公共元素得到的两个不相交的子集仍有相同的和．这与ｓ中任意两个不相交子集有不同的和的假定矛盾．
下证≤５（这里表示集合ｓ的元素个数）．这是因为，若ｉｓｉ则ｓ的不多于４个。
元素的非空子集的个数至少为 ＋＋字＋
詈；＝：而上述子集的和不超过１２＋
５：５故至少有两个不同子集的和相等．这与前述结果矛盾。
对：５的集合，最大元素可放ｌ５，
这时不能再放１２（否则最大。
可再放第５个元素最大为８．注意到且取出的５个数任意两数。
之和各不相同，故集合满。
足题意所求的最值为。
＿２５已知ａ》０又 、为满足。
ｏｓ．的实数，求证：
矗 ）定值。
７１０陕西师范大学数学系罗增儒供。题）
口，２证：在椭圆＋＝１上取两点由。
知０ａ上ｏｂ．又（二）ａ２易 ｓｉ
０ｓ口一。
可以知道，若直线与椭圆＋：１交于 ，ｂ两点，坐标原点０到直线的距离为ｄ，长，但ｚｂａ的大小不确定．其内切圆ｏｏ与。
边ｂｃ相切于ｄ点，设ｄｆ为ｏ（＝的直径．作射。
线 ｆ交边ｂｃ于ｇ点，求证：无论ｚｂａ的大小如何变化，线段ｇｄ的长恒为定值．
图２２４１安徽省芜湖市南瑞实验学校吴永刚供题）
２７．在四边形 ｂ 中，上ｊｅ『于点（二），牡四川成都。
＋＋＋宿晓阳供题）
２８．设。尼求证：
兰…一＿竺垒二＿ｌ
６￣１砒（云南省易门县第一中学吕顺宁。
”．供题）２９．设口、ｄ为非负实数，６、为正数，且６＋
≥０＋求—＋的最小值．
６４１四川省资阳市外国语实验学校。
蔡勇全供题）
３０．已知在长度为ｌ的闭线段上可以画个点，使在这个长度为１的闭线段上满足：任意一个长度为ｓ的闭线段上的所含的点数不多于１＋
０１１个，求扎的最大值．
２００上海市控江中学许敏供题）
本栏目负责人李大元汪纯中）
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