决胜名校少儿数学邀请赛数学试题解析

发布 2020-03-02 02:27:28 阅读 3613

2023年12月17日少儿数学邀请赛初赛试题详解。

一、填空题。

解析:这是一个典型的等比数列求和。运用“借来还去”法。

原式=( 2+4+8+16+32+64)

答案:126

解析:这题看起来复杂,其实只要按部就班求倒数就可以。

答案:23、唐僧师徒吃馒头,唐僧和猪八戒一共吃了总数的1/2,唐僧和沙和尚一共吃了总数的1/3,唐僧和孙悟空一共吃了总数的1/4,那么唐僧吃了总数的 。

解析:这道题是基本的分数问题。

设唐僧,猪八戒,沙和尚,孙悟空4人所吃的馒头分别为总量的a,b,c,d。则有:a+b=1/2. a+c=1/3. a+d=1/4. 这三个式子加起来就是。

3a+b+c+d = 1/2+1/3+1/4 = 13/12. 因为我们知道4人吃的馒头加起来就是总的馒头。这样有a+b+c+d=1.

两式相减得到2a=1/12. a=1/24.

答案:1/24.

4、把浓度为95%的酒精600克稀释为浓度为75%的医用酒精,需加入克的蒸馏水。

解析:这道题是经典的浓度问题。用十字交叉法就可以解。

75:20=15:4.也就是说95%的酒精与纯水的比例应该是15:4.我们设加入水x克,有。

600:x=15:4,得到x=160.

答案:160

5、自然数a、b满足 1/a-1/b=1/182, a :b=7 :13 则a+b

解析:基本比例问题与方程相结合。

因为a:b=7:13,所以设a=7x,b=13x。

得到 - 可以解出x=12. a+b=20x=20x12=240.

答案:240

的正约数有个。

解析:求正约数的个数,基本的数论问题。直接运用公式。

480=x5=。 所以正约数个数是(5+1)x(1+1)x(1+1)=24.

答案:247、把长、宽、高分别是的钢块,熔铸成底面直径是20的圆柱,这个圆柱的高是保留两位小数,π≈3.14)。

解析:体积问题,整个过程铜的体积不变。

设圆柱体的高为h有30x20x10=πhx。解出x=19.11(π取3.14,保留两位小数)

答案:19.11

8、六年级三个班共订了25种杂志,一班订了15种,二班订了16种,三班订了14种,一班和二班相同的杂志有10种,二班和三班相同的杂志有5种,一班和三班相同的杂志有6种,三个班都订的杂志有种。

解析:容斥原理。直接运用公式。

设3个班都订的杂志有x种,有。

25=15+16+14-10-5-6+x。解出x=1

答案:1被一个两位数除,余数是37,这个两位是

解析:数论中的带余除法。

设这个数为x,310除以x余37,那么310-37=273应该正好被x整除。也就是说,x是273的约数。273=3x7x13。

又因为x>37,所以x=3x13=39或者x=7x13=91.

答案:39或91.

10、某人2023年的年龄正好是他出生年份各个数位上的和,他的出生份是年。

解析:数论中位值原理和不定方程的应用。

设这个人19xy年出生,他今年是1997-19xy。另一方面,他的年龄等于出生年份各个数位上的和1+9+x+y=10+x+y。

得到1997-19xy=10+x+y。又因为19xy=1900+10x+y,化简得到97-10x-y=10+x+y。

所以我们得到不定方程11x+2y=87。

这个不定方程的解法很多,这里讲两种:

1)试,x最大为9。当x=9,无解;x=8,无解;x=7,y=5,满足。

2)(通法)对11x+2y这个方程两边同时考虑除以11所得到的余数,左边11x是11的倍数,所以左边除以11的余数就是2y除以11的余数。右边除以11的余数是10。

也就是说左边2y除以11所得到的余数是10。那么显然y=5时候,2y=10满足,此时x=7.

答案:1975

11、一条线段对折4次,从中间剪一刀,可以得到条线段。

解析:这是一道找规律的题。

一般一根绳子,如果有1个断口,就会剪成2段;有2个断口,就会剪成3段;…有n个断口,就会剪成n+1段,所以只要考虑断口的数目就可以。

折1次,剪一刀会有2个断口;折2次,会有;…折n次,就会有个断口。所以折4次会有=16个断口,也就是17段。

答案:1712、三角型abc是等腰直角三角型,角c=90°,直角边的长度是1,把这个三角型顺时针旋转90°,ab扫过的面积是保留两位小数,π≈3.14)。

解析:这题主要考察曲线型面积,难度在于判断ab扫过的到底是哪个部分。

如图,扫过的是阴影部分。

计算方法是用最大半圆减去i,ii两个三角形和iii扇形的面积。

面积=1/2。求=π。难度在于r用小学的知识无法求出。

但是不要急,我们看在i三角形,这是一个等腰直角三角形,直角边长度是r,斜边长1,根据勾股定理:有+=1,于是=1/2。这样=π/8。

阴影部分面积=πx/2-1/2-π/8=3π/8=0.68(π取3.14,保留两位小数)

答案:0.68

二、应用题。

13、王老师去购买课桌椅,打算购买240套,每套定价80元,王老师对厂长说:“你每套降价1元,我就多买10套。”厂长想了想,如果降价10%,所得的利润和原来的一样,于是答应了王老师的要求,请问每套课桌椅的成本是多少?

解析:简单的分数应用题与方程结合。

假设每套课桌椅成本x元,有:

降价10%,则降价后**为80x(1-10%)=72元。每降价1元,多买10件,现在降价总共80-72=8元,就多买8x10=80套,现在就买240+80=320套。

利润=(每套的**-每套的成本)x总共购买多少套。

根据利润不变,可以列出方程。

240x(80-x)=320x(72-x)

解出x=48

答案:48元。

14、有一个水池,甲管和乙管同时打开,5小时能注满,乙管和丙管同时打开,4小时能注满,若把乙管开上6小时,还需要把甲,丙两管同时开2小时才能注满。单独用乙管,几小时能注满?

解析:分数应用题中的工程问题。

设总体的水池中的水为1;甲,乙,丙的注水效率为x,y,z,可以得到:

5x+5y=1……①

4y+4z=1……②

6y+2x+2z=1……③

把③式变形得到2(x+y)+2(y+z)+2y=1……(由①式得到:x+y=1/5,由②式得到:y+z=1/4.代入(*)得到。

2x1/5 +2x1/4 +2y=1,得到y=1/20。

所以单独用乙管放水,需要20小时灌满。

答案:20小时。

15、a、b两地相距7200米,甲和乙同时从a、b两地相向而行,在距离b地2400米的地方相遇,假如让乙提速3倍,可提前10分钟相遇,请问甲每分钟走多少米?

解析:行程问题。这道题的突破口是利用比例方法,寻找不变量。

考虑第一次相遇,相遇点距离b地2400米,说明乙行走的距离是2400米,甲行走的距离是7200-2400=4800米。甲乙的速度比等于路程比4800:2400=2:1。

考虑第二次相遇,乙提高速度3倍,甲速度不变。则甲乙的速度比就变成2:3,这样我们可以推测路程比等于速度比等于2:

3。这时候甲走的路程是7200x2/5=2880米,乙行走的路程是7200-2880=4320米。

考虑不变量,两个过程中甲速度不变,第一次走4800米,第二次走2880米,中间相差10分钟,说明甲10分钟正好可以走4800-2880=1920米,甲每分钟走1920÷10=192米。

答案:192米。

16、现在是11点,请问再过多少分钟,时针和分针第一次成直角?

解析:钟表问题。需要正确的找到时针,分针的速度和时针分针之间的角度差。

表盘一共12个数字,每两个数字之间相差360÷12=30度。11点时,分针指向12,时针指向11。分针在时针前,相差30度。只要分针比时针多走90-30=60度,即可成直角。

时针的速度是30÷60=1/2度/分,分针的速度是360÷60=6度/分。时针每分钟比分针多走6-1/2=11/2度。那么,多走60度,需要的时间是60÷11/2=60x2/11=120/11=分钟。

答案:分钟。

17、袋子里装有99张小纸片,上面分别写着1-99从里面拿出若干个纸片,算出它们的和,再把和的最后两位写到一个纸片上装到袋子里,称为一次操作。经过若干次这样的操作之后,袋子里只剩下一个数,这个数是多少?

解析:简单的逻辑推理与数列综合。

这题有两种常见方法:

1) 按照题目的说法,应该不管怎样取都不会影响最终结果,所以我们设计一种取法:

先取1,和99,写下00放回(此时00这张卡片已经不影响最后结果);再取2和98,写下00,放回;……取49和51,写下00,放回;最后剩下的是50。

2) 我们可以知道按照这种操作,只写下最后两位数字的和跟前面的各个数位和已经没有任何影响了。

所以1+2+…+98+99=4950

只写下最后两位数字就是50。

答案:50

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