2024年12月17日少儿数学邀请赛初赛试题详解。
一、填空题。
解析：这是一个典型的等比数列求和。运用“借来还去”法。
原式=（ 2+4+8+16+32+64）
答案：126
解析：这题看起来复杂，其实只要按部就班求倒数就可以。
答案：23、唐僧师徒吃馒头，唐僧和猪八戒一共吃了总数的1/2，唐僧和沙和尚一共吃了总数的1/3，唐僧和孙悟空一共吃了总数的1/4，那么唐僧吃了总数的 。
解析：这道题是基本的分数问题。
设唐僧，猪八戒，沙和尚，孙悟空4人所吃的馒头分别为总量的a，b，c，d。则有：a+b=1/2. a+c=1/3. a+d=1/4. 这三个式子加起来就是。
3a+b+c+d = 1/2+1/3+1/4 = 13/12. 因为我们知道4人吃的馒头加起来就是总的馒头。这样有a+b+c+d=1.
两式相减得到2a=1/12. a=1/24.
答案：1/24.
4、把浓度为95%的酒精600克稀释为浓度为75%的医用酒精，需加入克的蒸馏水。
解析：这道题是经典的浓度问题。用十字交叉法就可以解。
75:20=15:4.也就是说95%的酒精与纯水的比例应该是15:4.我们设加入水x克，有。
600：x=15:4，得到x=160.
答案：160
5、自然数a、b满足 1/a-1/b=1/182， a ：b=7 ：13 则a+b
解析：基本比例问题与方程相结合。
因为a:b=7:13，所以设a=7x，b=13x。
得到 - 可以解出x=12. a+b=20x=20x12=240.
答案：240
的正约数有个。
解析：求正约数的个数，基本的数论问题。直接运用公式。
480=x5=。 所以正约数个数是（5+1）x（1+1）x（1+1）=24.
答案：247、把长、宽、高分别是的钢块，熔铸成底面直径是20的圆柱，这个圆柱的高是保留两位小数，π≈3.14）。
解析：体积问题，整个过程铜的体积不变。
设圆柱体的高为h有30x20x10=πhx。解出x=19.11（π取3.14，保留两位小数）
答案：19.11
8、六年级三个班共订了25种杂志，一班订了15种，二班订了16种，三班订了14种，一班和二班相同的杂志有10种，二班和三班相同的杂志有5种，一班和三班相同的杂志有6种，三个班都订的杂志有种。
解析：容斥原理。直接运用公式。
设3个班都订的杂志有x种，有。
25=15+16+14-10-5-6+x。解出x=1
答案：1被一个两位数除，余数是37，这个两位是
解析：数论中的带余除法。
设这个数为x，310除以x余37，那么310-37=273应该正好被x整除。也就是说，x是273的约数。273=3x7x13。
又因为x>37，所以x=3x13=39或者x=7x13=91.
答案：39或91.
10、某人2024年的年龄正好是他出生年份各个数位上的和，他的出生份是年。
解析：数论中位值原理和不定方程的应用。
设这个人19xy年出生，他今年是1997-19xy。另一方面，他的年龄等于出生年份各个数位上的和1+9+x+y=10+x+y。
得到1997-19xy=10+x+y。又因为19xy=1900+10x+y，化简得到97-10x-y=10+x+y。
所以我们得到不定方程11x+2y=87。
这个不定方程的解法很多，这里讲两种：
1）试，x最大为9。当x=9，无解；x=8，无解；x=7，y=5，满足。
2）（通法）对11x+2y这个方程两边同时考虑除以11所得到的余数，左边11x是11的倍数，所以左边除以11的余数就是2y除以11的余数。右边除以11的余数是10。
也就是说左边2y除以11所得到的余数是10。那么显然y=5时候，2y=10满足，此时x=7.
答案：1975
11、一条线段对折4次，从中间剪一刀，可以得到条线段。
解析：这是一道找规律的题。
一般一根绳子，如果有1个断口，就会剪成2段；有2个断口，就会剪成3段；…有n个断口，就会剪成n+1段，所以只要考虑断口的数目就可以。
折1次，剪一刀会有2个断口；折2次，会有；…折n次，就会有个断口。所以折4次会有=16个断口，也就是17段。
答案：1712、三角型abc是等腰直角三角型，角c=90°，直角边的长度是1，把这个三角型顺时针旋转90°，ab扫过的面积是保留两位小数，π≈3.14）。
解析：这题主要考察曲线型面积，难度在于判断ab扫过的到底是哪个部分。
如图，扫过的是阴影部分。
计算方法是用最大半圆减去i，ii两个三角形和iii扇形的面积。
面积=1/2。求=π。难度在于r用小学的知识无法求出。
但是不要急，我们看在i三角形，这是一个等腰直角三角形，直角边长度是r，斜边长1，根据勾股定理：有+=1，于是=1/2。这样=π/8。
阴影部分面积=πx/2-1/2-π/8=3π/8=0.68（π取3.14，保留两位小数）
答案：0.68
二、应用题。
13、王老师去购买课桌椅，打算购买240套，每套定价80元，王老师对厂长说：“你每套降价1元，我就多买10套。”厂长想了想，如果降价10%，所得的利润和原来的一样，于是答应了王老师的要求，请问每套课桌椅的成本是多少？
解析：简单的分数应用题与方程结合。
假设每套课桌椅成本x元，有：
降价10%，则降价后**为80x（1-10%）=72元。每降价1元，多买10件，现在降价总共80-72=8元，就多买8x10=80套，现在就买240+80=320套。
利润=（每套的**-每套的成本）x总共购买多少套。
根据利润不变，可以列出方程。
240x（80-x）=320x（72-x）
解出x=48
答案：48元。
14、有一个水池，甲管和乙管同时打开，5小时能注满，乙管和丙管同时打开，4小时能注满，若把乙管开上6小时，还需要把甲，丙两管同时开2小时才能注满。单独用乙管，几小时能注满？
解析：分数应用题中的工程问题。
设总体的水池中的水为1；甲，乙，丙的注水效率为x，y，z，可以得到：
5x+5y=1……①
4y+4z=1……②
6y+2x+2z=1……③
把③式变形得到2（x+y）+2（y+z）+2y=1……（由①式得到：x+y=1/5,由②式得到：y+z=1/4.代入（*）得到。
2x1/5 +2x1/4 +2y=1，得到y=1/20。
所以单独用乙管放水，需要20小时灌满。
答案：20小时。
15、a、b两地相距7200米，甲和乙同时从a、b两地相向而行，在距离b地2400米的地方相遇，假如让乙提速3倍，可提前10分钟相遇，请问甲每分钟走多少米？
解析：行程问题。这道题的突破口是利用比例方法，寻找不变量。
考虑第一次相遇，相遇点距离b地2400米，说明乙行走的距离是2400米，甲行走的距离是7200-2400=4800米。甲乙的速度比等于路程比4800:2400=2:1。
考虑第二次相遇，乙提高速度3倍，甲速度不变。则甲乙的速度比就变成2:3，这样我们可以推测路程比等于速度比等于2:
3。这时候甲走的路程是7200x2/5=2880米，乙行走的路程是7200-2880=4320米。
考虑不变量，两个过程中甲速度不变，第一次走4800米，第二次走2880米，中间相差10分钟，说明甲10分钟正好可以走4800-2880=1920米，甲每分钟走1920÷10=192米。
答案：192米。
16、现在是11点，请问再过多少分钟，时针和分针第一次成直角？
解析：钟表问题。需要正确的找到时针，分针的速度和时针分针之间的角度差。
表盘一共12个数字，每两个数字之间相差360÷12=30度。11点时，分针指向12，时针指向11。分针在时针前，相差30度。只要分针比时针多走90-30=60度，即可成直角。
时针的速度是30÷60=1/2度/分，分针的速度是360÷60=6度/分。时针每分钟比分针多走6-1/2=11/2度。那么，多走60度，需要的时间是60÷11/2=60x2/11=120/11=分钟。
答案：分钟。
17、袋子里装有99张小纸片，上面分别写着1-99从里面拿出若干个纸片，算出它们的和，再把和的最后两位写到一个纸片上装到袋子里，称为一次操作。经过若干次这样的操作之后，袋子里只剩下一个数，这个数是多少？
解析：简单的逻辑推理与数列综合。
这题有两种常见方法：
1） 按照题目的说法，应该不管怎样取都不会影响最终结果，所以我们设计一种取法：
先取1,和99,写下00放回（此时00这张卡片已经不影响最后结果）；再取2和98，写下00，放回；……取49和51，写下00，放回；最后剩下的是50。
2） 我们可以知道按照这种操作，只写下最后两位数字的和跟前面的各个数位和已经没有任何影响了。
所以1+2+…+98+99=4950
只写下最后两位数字就是50。
答案：50
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