一元二次方程的应用（两课时）
知识点归纳】
1. 列方程解应用题的一般步骤：
1）审题：了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。
2）设未知数：一般情况下求什么设什么为未知数。
3）列方程：根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。
4）解方程：灵活运用一元二次方程的四种解法。
5）验根：检验一元二次方程的根是否满足题意。
6）答：作答。
2. 一元二次方程应用题常见题类型：
1）数字问题。
2）与面积有关的几何问题。
3）平均变化率问题。
4）经营问题。
5）行程为题。
6）工程问题。
典型例题】例1：一件工程由甲、乙两人合作6天可以完成，如果甲单独做则比乙单独做少用5天完成，问两人单独做，各需几天完成？
类题练习：甲、乙、丙三人合作一项工程所需的时间比甲单独完成所需时间少14天，比乙单独完成所需时间少9天，丙的工作效率与甲相同，问三人合作需多少天完成该工程？
小结：工作效率=，列方程时通常把工作效率表示出来后在实际工作量上找相等关系。
例2：（1）某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程正确的是（ ）
ab、；cd、
2） 某厂2023年的钢产量是a吨，计划以后每一年比上一年的增长率为x,那么2023年的钢产量是___
3）市**为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的**。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是。
4）一种药品经过两次降价后，每盒的**由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是。
类题练习：1．某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则列方程为（ ）
ab、；cd、
2.某商场今年1月份销售额为100万元，2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施，改进经营管理，使月销售额大幅上升，4月份的销售额达到129.6万元，求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率。
3.某电脑公司2023年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
4. 某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司。
二、三月份营业额平均增长率是多少？
5. 由于受甲型h1n1流感（起初叫猪流感）的影响，4月初某地猪肉**大幅度下调，下调后每斤猪肉**是原**的2/3，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型h1n1流感．因此，猪肉**4月底开始回升，经过两个月后，猪肉**上调为每斤14.4元．
1）求4月初猪肉**下调后每斤多少元？
2）求月份猪肉**的月平均增长率．
小结：平均变化率问题的公式a=a（1+x）n a为变化前的基数，x为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n为变化次数，a为变化后的量。
例3：有一个两位数，两个数字的和为9，数字的积等于这个两位数的，求这个两位数。
类题练习：有一个两位数，两个数字的和为8，数字的积等于这个两位数个位数字与十位数字交换后所得的两位数的，求这个两位数。
小结：多位数的表示方法，如两位数十位数字为a，各位数字为b，则这个两位数可以表示为10a+b，不要误写成ab。常见的数字型应用题还有与连续奇（偶）数有关的题型，注意负数中也有奇（偶）数，对解出的负值不能随意舍弃。
例4：在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为，道路宽应为多少？
类题练习：1．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少。
2.学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为196平方米，求小道的宽．
3．用一块长方形的铁片， 把它的四角各剪去一个边长为4cm的小方块， 然后把四边折起来， 做成一个没有盖的盒子， 已知铁片的长是宽的2 倍， 做成盒子的容积是 1536 cm3, 求这块铁片的长和宽。
4：在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？
小结：熟练运用相关的面积公式列方程，注意有时为了利于计算，需要对图形进行变换或割补等方法。
例5：甲、乙两地相距48千米，小王和小张驾车同时从甲地出发向乙地行驶，小王比小张早12分钟到达，已知小王的车速每小时比小张的车速快3千米，设小王的车速为x千米/小时，则列方程为（ ）
a、 b、 c、 d、
类题练习：某船在相距24千米的上、下游的两个码头之间往返一次共需3小时20分钟，已知水流速度为3千米/小时，求船的静水速。
小结：行程问题一般是已知路程求速度（或时间），通常在时间（或速度）上找相等的关系列方程。
例6：（1）在[, 前夕，某超市在销售中发现：奥运会[, 平均每天可售出20套，每件盈利40元。
为了迎接，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每套降价4元，那么平均每天就可多售出8套。
要想平均每天在销售上盈利1200元，那么每套应降价多少？
2）某商店如果将进货**为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？
3）某西瓜经营户以2元/千克的**购进一批小型西瓜，以3元/千克的****，每天可售出200千克。为了**，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小西瓜每降价0.
1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元，则应将每千克的小型西瓜的售价降低多少元？
类题练习：1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明，这种台灯的**每上。
涨1 元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
这时候应进台灯多少个？
2. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
3） 商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价定为多少？
3（2011浙江义乌）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元。
据此规律，请回答：
1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；
2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
小结： 总利润 = 销售总额 — 总成本 — 其他费用） 或利润=单件利润×销售量。
或总利润 =（销售单价 — 进货单价）× 销售数量 — 其他费用。
基础过关】一、选择题。
1.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为（ ）
ab、；cd、；
2.小王的便利店今年1月份的利润是1000元，3月份的利润为1210元，则该店这两个月的利润平均增长率为（ ）
a、9b、10c、11d、12%
3.从一块正方形铁皮上截去宽的一个长方形，余下的面积是，则原来正方形的面积为（ ）
a、 bcd、
4.某厂的总产值2023年比2023年上升了10%，2023年比2023年上升10%，但2023年和2023年连续两年平均每年比上一年降低10%，则2023年总产值比2023年的总产值（ ）
a、降低了1.99% b、上升了2% c、降低了2% d、上升了1.99%
5. (2010恩施）某品牌商品，按标价九折**，仍可获得20%的利润。若该商品标价为28元，则商品的进价为（ ）
a. 21元 b. 19.8元 c. 22.4元 d. 25.2元。
二、填空题。
1. 两个数的和等于5，平方和等于13，则这个两位数为___
2. 某车间计划在一定时间内生产360件产品，实际每天比原计划多生产6件，提前3天完成，则实际生产天数为___
3. 矩形面积为140平方米，长比宽多4米，则矩形的长和宽分别为。
4. 用长24cm的铁丝围成一个斜边为10cm的直角三角形，则该三角形另两条直角边分别为。
5. 两个连续奇数的乘积为323，这两个奇数是。
三、解答题。
1.天虹商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等。
1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
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