暑假作业三

第二讲函数的应用。

一、一次函数与分段函数模型。

例1：我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元。小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。

1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);

2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？

二、二次函数与分段函数模型。

例1：某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架。已知制造x架该种飞机的产值函数为r(x)=3000x-20x (单位：

万元），成本函数c（x)=500x+4000 (单位：万元）。利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数（x)的边际利润函数mx)定义为：

mx)=(x+1)-(x).

求利润函数p(x)及边际利润函数mp(x)；（利润=产值-成本）

问该公司的利润函数p(x)与边际利润函数mp(x)是否具有相等的最大值？

例2：北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的**销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售**在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售**为x元。

1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售**x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）。

2）当每纪念章销售**x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值。

三、指数函数与对数函数模型。

例1急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负．控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前．

1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？

2)我国人口在2023年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2023年底至多有多少亿？

以下对数值可供计算时使用：

例2：某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：

1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。

巩固练习：1、某厂2023年12月份产值计划为该年1月份产值的a倍，则该厂2023年度产值的月平均增长率为___

2、某物体一天中的温度t是时间t的函数，且t(t)＝t－3t＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t＝0表示12：00，则上午8：00的温度为。

3、某工厂生产一种仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知该仪器的每台售价p(元)与每月生产量x台的关系为p＝500－x.为使该厂每月所获利润最大，则该厂每月生产这种仪器的台数为注：利润＝销售收入－总成本)

4、某企业买劳保工作服和手套，市场价每套工作服53元，手套3元一副，该企业联系了两家商店，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：

商店一：买一赠一，买一套工作服赠一副手套；

商店二：打折，按总价的95%收款．

该企业需要工作服75套，手套若干(不少于75副)．若你是企业的老板，你选择哪一家商店省钱．

5、如图(1)是某公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数的图象，由于目前这条线路亏损，公司提出了两个扭亏为盈的方案，如图(2)和(3)．

1)试说明图(1)中，点a、点b以及射线ab上的点的实际意义；

2)根据图(2)、图(3)，指出这两种方案的具体内容是什么？

6、经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与**(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，**近似满足f(t)＝20－1/2|t－10|(元)．

1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；

2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟**．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n＝1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n＝2；依此类推，…，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位．

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