**特征向量的几何意义与应用意义。
摘要：本文结合老师上课所讲授的内容，首先用代数的方法推导了特征向量的几何意义，然后结合研究方向对特征向量在管理实践中的应用进行相关讨论。
一、特征向量的几何意义。
通过课堂讨论认识到特征向量是使向量**性变换下不改变方向，只伸缩长度的一种变换。下面将对具体过程进行推导：
设，则是二维向量空间。设。 中的元素是平面上某点的坐标。设是平面上的线性变换，即：
其中： 设变换为，则是平面上的线性变换的充要条件是：
或 （1）由此可知，平面上的线性变换与二阶实矩阵是相互确定的，即给出了线性变换，就可得出矩阵，反之，给出了矩阵，就可以写出线性变换。
线性变换的几何意义是：设的行列式，则线性变换（1）式是平面上的线性变化，它将平面上的点变为唯一的一点。设是向量空间上的线性变换，是的一组基，设。
其中：和分别是向量和关于基，的坐标，（2）式写成矩阵形式是：
设，则可写成矩阵形式如下：
从而有：因为是上的线性变换，有（3）式、及（4）式得：
特征向量的定义如下：
是向量空间上的线性变换，，是上的非零向量，若。
则称是线性变换的一个特征根，属于特征根的特征向量。
显然，对任，，有，所以是属于特征根的所有特征向量。因为，所以（5）式可以写为：
由此我们得到，平面上线性变换的特征向量的几何意义是：特征向量是平面上点的径矢量，即，而点的坐标是，属于特征根的所有特征向量都在由点和点确定的直线上。因为与的坐标成比例，所以矢量与矢量线性相关，几何上，与在过原点的直线上。
所以特征向量是一种伸缩变换，即向量不改变方向，只伸缩长度，伸缩程度即特征值。
以上推导只证明了二阶矩阵，同理可推广到三阶矩阵，即三维空间。
二、特征向量的应用意义。
随着大数据时代的到来，数据分析在质量管理方面得到了广泛应用。在使用不同的启发式算法进行分析之前必须对研究对象进行处理，完成从实体到数学模型的映射，对于需要用多指标来进行评测的对象就需要用到特征向量。若要对不同型号进行质量水平检测，结合其产品销售情况确定需要改进的型号。
首先设定需要观测的技术指标，然后通过前期的数据收集可以获取每种型号产品共有的各项技术质量特征值。比如对a型号产品的每个指标对应的值分别为，这样a型号产品就具有了一个n维样本空间，这样a型号产品就具备了一个特征向量。如果对该特征向量使用启发式算法，如分类或聚类的方法，就可以得出若干分类，每一个类是处于同一质量水平的产品型号集。
在这种方法中，每个型号集用一个可量化的、有实际意义的向量表示，使分析者可以采用一些方法进行处理。
此外在文本分类领域，特征向量也有着重要应用。文本分类的第一步为特征项提取，通过朴素贝叶斯、信息熵和tf-idf等方法，根据确定的测量值来选取可以表现文本特性的特征项，然后用该测量值代替特征项完成一个文本有现实世界到数学世界的映射。如对于文本，设其有个特征项，每个特征项对应的测量值分别为，则可用向量来表示该文本，即为该文本的特征向量。
之后可以选择分类方法对文本进行处理，目前广泛运用的方法有支持向量机和knn方法。支持向量机通过建立一个超平面来对文本进行分类，这一概念与上课讲到凸集中的超平面的概念是相一致的。目前也有一些研究集中在如何对提取的特征向量进行降维从而提高运算效率和结果的准确性。
这些研究都是在建立特征向量的前提下进行的。
以上介绍了特征向量在管理领域的应用。类比于特征向量的几何意义，可以将特征向量理解为对研究对象的一种平行变换，用一种数学的方法来对其进行表示不改变其原有代表的意义，属于同向变换。正如二维空间中特征向量代表着一种伸缩变换，只改变长度，不改变大小。
本文推导了特征向量的几何意义并且介绍了其在管理领域的最新应用，是对上课老师讲授内容的一个扩充和补充。通过管理数学基础的学习，锻炼了我思考抽象问题的能力，体会到了类比于旧知识学习新知识的方法。对于特征向量这一块内容的学习再结合自己平时科研中读到的一些文献，对这一问题有了更深入的理解。
但是对于范数这一部分，由于科研中接触之类的方法较少，内容抽象，理解起来觉得略有困难。如果在以后的教学中在这一部分加入一些实际的应用方法，可能会有更高的效果。
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