工业炉的炉墙以往常用红砖和耐火砖组成。由于该两种材料的导热系数较大，散热损失较严重，为了节省能量，近年来国内广泛采用在耐火砖上贴一层硅酸纤维毡，如附图所示。今用以下的非稳态导热简化模型来评价黏贴硅酸纤维毡的收益：
设炉墙原来处于与环境平衡的状态，s时内壁表面突然上升到550℃并保持不变。这一非稳态导热过程一直进行到炉墙外表面的对流，辐射热损失与通过墙壁的导热量相等为止。在炉墙升温过程中外表面的总表面传热系数由两部分组成，即自然对流引起的部分。
及辐射部分
其中：为外表面温度，为内表面温度，。
为简化计算，设三种材料的导热系数分别为w/(试计算每平方炉墙每平方面积上由于粘贴了硅酸纤维毡而在炉子升温过程中节省的能量。
解：查表的三种材料的物性参数如下：
红砖： ，发射率。
耐火砖：，，
硅酸纤维毡：，，
当只有红砖和耐火砖时：
描述问题的微分方程和定解条件：
采用数值方法解，其中网格划分的示意图如下：
对于红砖和耐火粘土砖交界处的25节点，其左右的材料物性参数不同，为简化处理，将其视为无体积节点，按照从传到该点的热量等于该点传至的的热量来列传热方程，即方程中无非稳态项。
边界节点的显式离散化代数方程（化简后的）：
节点1（外壁）：
交界点25：
节点49（内壁）温度保持在550℃不变。
内部节点的显式离散化代数方程：
内部的节点： 其中
内部的节点： 其中
由前面查到的参数得： ，
要使离散方程稳定，则<
求得一个：
并且，又求得一个：
故取并由此计算得： ，
将上面得到的显式离散化代数方程在matlab中用程序计算，以为时间步长，设环境温度为℃。假定，当外壁在5小时内的温度变化小于1℃时，视为达到稳定，升温过程结束。
程序的源**如下：
kn=10000; %最大计算时间间隔数。
n=49;%按照每10毫米取一个点。
dx=0.01;
dt=40; %时间步长40s
fo1=0.484;%傅里叶数。
fo2=0.105;
tf=25;%环境温度。
t0=repmat(tf,n,1);%构建数组。
t1=repmat(tf,n,1);
t0(n)=550;%内壁温度保持在550度不变。
t1(n)=550;
tkn=repmat(t0,1,kn);%此矩阵用于循环完成之后，将整个过程中的温度曲线在一张图上呈现出来，由于矩。
阵太大，故用repmat函数构建矩阵。
q2=0;%用于计算整个过程中的传热量。
主循环 *开始。
每次循环时都是从内壁向外壁计算。
for k=2:kn
for i=48:-1:26
t1(i)=fo2*(t0(i-1)+t0(i+1))+1-2*fo2)*t0(i);%耐火粘土砖内的节点。
endt1(25)=(0.8*t0(26)+1.6*t0(24))/2.4;%红砖和耐火粘土砖的交界点。
for i=24:-1:2
t1(i)=fo1*(t0(i-1)+t0(i+1))+1-2*fo1)*t0(i);%红砖内的节点。
endhc=1.12*(t0(1)-tf)^(1/3);%表面传热系数中的对流部分。
hr=2.11*10^(-7)*(t0(1)+tf)^3/8;%表面传热系数中的辐射部分。
t1(1)=(160*t0(2)+(hc+hr)*tf)/(160+(hc+hr));外壁上的节点1
t0=t1;
tkn(:,k)=repmat(t0,1,1);
q2=q2+0.8*(t1(49)-t1(48))*dt/0.02; %对每一循环步中的传热量进行累积。
if k>550 &&tkn(1,k)-tkn(1,k-450)<1% k增加到550左右时，外壁温度才。
开始变化。450个循环乘以时间步长即为5小时。
break;
endend
k %显示实际的循环次数。
q2 %显示最终计算出的热流量。
plot(tkn);%画出变化图。
运行之后计算得到的结果是：
k=7455
q2=也就是说从开始到升温结束的时间长度为7455×40=298200s=82.8h=3.45天，整个过程中因炉壁升温损失的能量为。
计算得到的整个过程的温度变化曲线如下：
从图中可以看出升温结束时外壁的温度约为163℃，红砖和耐火粘土砖的交界处温度约为288℃
当耐火砖层上贴上硅酸纤维毡之后，描述问题的微分方程和定解条件如下：
数值方法的网格划分的示意图如下：
交界点的处理和前面一样，并且。
边界节点的显式离散化代数方程：
节点1（外壁）：
交界点25：
交界点49：
节点53（内壁）：
内部节点的显式离散化代数方程：
内部的节点： 其中
内部的节点： 其中
内部的节点： 其中
由前面查到的参数求得：
要使离散方程稳定，则，求得。
取，并由此计算得，，
在matlab中进行计算，以为步长，同样设环境温度为℃；假定，当外壁在5小时内的温度变化小于1℃时，视为达到稳定，升温过程结束。
程序源**如下：
kn=25000; %最大计算时间间隔数。
n=53;%按照每10毫米取一个点。
dx=0.01; %取点间距。
dt=30;%时间步长。
fo1=0.363;%傅里叶数。
fo2=0.079;
fo3=0.447;
tf=25;%环境温度。
t0=repmat(tf,n,1);
t1=repmat(tf,n,1);
t0(n)=550;
t1(n)=550;
tkn=repmat(t0,1,kn);%此矩阵用于循环完成之后，将整个过程中的温度曲线在一张图上呈现出来。
q3=0;主循环 *开始。
for k=2:kn
for i=52:-1:50
t1(i)=fo3*(t0(i-1)+t0(i+1))+1-2*fo3)*t0(i);
%t1(26)=fo3*(t0(25)+t0(27))+1-2*fo3)*t0(26);
endt1(49)=(0.04*t0(50)+0.8*t0(48))/0.84;
for i=48:-1:26
t1(i)=fo2*(t0(i-1)+t0(i+1))+1-2*fo2)*t0(i);
endt1(25)=(0.8*t0(26)+1.6*t0(24))/2.4;
for i=24:-1:2
t1(i)=fo1*(t0(i-1)+t0(i+1))+1-2*fo1)*t0(i);
endhc=1.12*(t0(1)-tf)^(1/3);
hr=2.11*10^(-7)*(t0(1)+tf)^3/8;
t1(1)=(160*t0(2)+(hc+hr)*tf)/(160+(hc+hr));
t0=t1;
tkn(:,k)=repmat(t0,1,1);
q3=q3+0.04*(t1(53)-t1(52))*dt/0.01;
if k>1400 &&tkn(1,k)-tkn(1,k-600)<1
break;
endendkq3
plot(tkn);
运算后得到的结果：
k=14825 q3=
也就是说加了硅酸纤维毡后，炉壁升温过程持续的时间t=14825×30=444750s=123.54h=5.15天。
虽然升温时间明显比没加硅酸纤维毡时长，但是升温过程损失的能量却比没加硅酸纤维毡时少。由此可见加了硅酸纤维之后炉壁的保温效果明显比以前好。
计算得到的整个过程的温度变化曲线如下：
从图中也可以看出，在温度沿着层明显下降，升温过程结束时，与得交界处温度约为209℃，下降了341度，起到了很好的保温作用。
第一章小结：
介绍热能传递的三种基本方式：热传导、热对流和热辐射。热传导的速率方程，其中称热导率或导热系数，单位；热对流的牛顿冷却公式，h称表面传热系数，单位；热辐射速率方程，斯忒藩—玻尔兹曼常量，称物体的发射率（黑度）。
在多环节传热中提出总传热系数的概念和计算方法。类比欧姆定律，提出热阻的概念。
第二章小结：
讨论稳态导热问题，先提出导热基本定律—傅里叶定律，矢量形式q=
由能量守恒定律得出导热微分方程：，以及求解微分方程的三类边界条件。并讨论了平壁、圆筒壁、球壳等典型一维稳态导热问题，以及肋片这种特殊的一维导热问题的分析解。
求解这类问题的一般步骤是先写出该类问题的稳态导热微分方程，给出边界上的定解条件，然后解微分方程即可。
第三章小结：
导热微分方程的非稳态项不为零时，即为非稳态导热问题。当固体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻时，称为零维非稳态问题。可以采用集中参数法求得温度场的分析解。
对于平板、圆柱和球这三种典型的一维非稳态导热问题，本章均讨论给出了分析解的求解公式。对于第三类边界条件问题的一般解题思路如下：1）首先尝试集中参数法，计算bi数，如果bi<0.
1，则可以采用集中参数法计算。2）如果bi>0.1，则计算fo数，如果fo<0.
5~0.6,则可将导热物体看成是半无限大的物体计算。3）如果bi>0.
1，0.060.1，fo>0.
2，则可采用正规状况的的简化解法。在工程上，非稳态导热问题的正规状况阶段有两种计算方法：图线法和近似拟合公式法。
本章**现的两个数：毕渥数（bi）和傅里叶数(fo)在今后的传热计算和分析中很有用。
第四章小结：
由于分析求解对于复杂传热问题来说有困难，故而发展出热传导问题的数值解法。就是根据描述问题的控制方程及定解条件，将热传导区域离散化，然后确定节点的热传导离散化代数方程，设定初始温度场然后进行迭代求解，最后得出温度场的情况。节点的离散方程的建立是以能量守恒定律和傅里叶导热定律为基础求得：
对于非稳态导热问题，由于与时间有关，所以要进行时间—空间区域的离散化处理。节点的离散化方程有显式和隐式两种。隐式格式工作量大，所以一般采用显式格式。
而显示格式有可能出现求解不稳定的情况，因此在采用显式格式求解非稳态导热问题时要在给定的空间步长下确定符合稳定条件的时间步长。简单的问题可以手工求解，对于复杂的工作量大的问题可以用matlab编程求解。
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