第七节无穷小的比较。
一、填空题。
1.当时，是的低阶无穷小；是的等价（或同阶）无穷小；
是的低阶无穷小；是的同阶无穷小；
是的等价（或同阶）无穷小；是的高阶无穷小。提示：
2.已知时，与为等价无穷小，则常数。
提示：.二、计算题。
1．解： 2. 解：
3. 解：4. 解。
第八节函数的连续性与间断点。
一、填空题。
1.设在处连续，则常数应满足的关系为。
提示：，.2.设在处连续，则常数， -2 .
提示：,，由在连续，则，从而。
3.若函数有无穷间断点及可去间断点，则常数 e .
提示：由已知，存在，所以，从而。
二、单项选择题。
1.是的 a .
a. 可去间断点 b. 跳跃间断点 c. 无穷间断点 d. 振荡间断点。
提示：因为， 故是的可去间断点。
2.函数 d .
a. 在处都间断b. 在处都连续
c. 在处连续，处间断 d. 在处间断，处连续。
提示：；.3.设函数在处连续，则 b .
abcd.
提示：.三．求下列函数的间断点，并指出其类型．解：函数的间断点：；
是可去间断点。
是无穷间断点。
解： 因为左右极限都存在，但不相等，从而是间断点，而且是跳跃间断点。
四．求下列函数的极限．
第九节闭区间上连续函数的性质。
一、单项选择题。
1.方程有实根的区间为 a .
a. b. c. d.
提示：令，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可。
2.方程。有 d 个实根。
abcd.
提示：令。又，则由零点定理知，方程在分别至少存在一个根；又是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根。
二、证明题。
1.证明方程在区间内至少有一实根。
证明：令，则在上连续，且，根据零点定理，至少存在一点，使，所以方程，即在区间内至少有一实根。
2.设在上连续，且。证明至少存在一点，使。
证明：令，则在上连续，且，根据零点定理，至少存在一点，使，即。
第一章自测题。
一、填空题（每小题3分，共18分）
提示：.
提示：.3.已知，其中为常数，则 7 ， 5 .
4. 若在上连续，则 -2 .
提示：由题意知， ，
从而。5. 曲线的水平渐近线是，铅直渐近线是。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. “对任意给定的，总存在整数，当时，恒有”是数列收敛于的 c .
a. 充分条件但非必要条件b. 必要条件但非充分条件。
c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件。
2. 设，则 d .
a. b. c. d.
3. 下列各式中正确的是 d .
ab. cd.
4. 设时，与是等价无穷小，则正整数 a .
a. 1b. 2c. 3d. 4
提示：由题意知，当时， 从而取。
5. 曲线 d .
a. 没有渐近线b. 仅有水平渐近线。
c. 仅有铅直渐近线d. 既有水平渐近线又有铅直渐近线。
6．下列函数在给定区间上无界的是 c .
abcd.
三、计算题（每小题7分，共49分）
解：.解： .
解：，又，4．
解：.5. 设函数，求。解：
解：， 所以，原式。
7.已知，求。
解：左边，右边 ，故，则．
四、讨论函数在处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型。（本题8分）解：当时，，此时在处连续；
当时，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．五、附加题。
设在上连续，且。证明：一定存在一点，使得。
（本题7分）
证明：设，显然在上连续，而，若，即。
或，此时取或即可；若时，由零点定理知：
一定存在一点，使，即．
综上，一定存在一点，使得。
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