第七章不等式。
第一部分三年高考荟萃。
2023年高考题。
一、选择题。
1.（重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是。
ab．4cd．5
答案】c2.（浙江理5）设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是。
a．14 b．16 c．17 d．19
答案】b3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是。
a． b． c． d．
答案】a4.（江西理2）若集合，则。
a． b．
cd．答案】b
5.（辽宁理9）设函数，则满足的x的取值范围是。
a），2] （b）[0，2] （c）[1d）[0，+）
答案】d6.（湖南理7）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为。
a．（1，） b．（，
c．（1,3d．（3，）
答案】a7.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为。
a．[-2，2] b．[-2，3c．[-3，2d．[-3，3]
答案】d8.（广东理5）。已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为。
a． b． c．4d．3
答案】c9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=
a．4650元 b．4700元 c．4900元 d．5000元。
答案】c解析】由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数。
10.（福建理8）已知o是坐标原点，点a（-1,1）若点m（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是。
a．[-1．0] b．[0．1c．[0．2] d．[-1．2]
答案】c11.（安徽理4）设变量的最大值和最小值分别为。
（a）1，－1b）2，－2 （c） 1，－2 （d） 2，－1
答案】b12.（上海理15）若，且，则下列不等式中，恒成立的是
ab． c．dd．
答案】二、填空题。
13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。
答案】2000
14.（浙江理16）设为实数，若则的最大值是。
答案】15.（全国新课标理13）若变量x，y满足约束条件，则的最小值是。
答案】-6[**：状_元_源]
16.（上海理4）不等式的解为。
答案】或。17.（广东理9）不等式的解集是 ．
答案】18.（江苏14）设集合，
若则实数m的取值范围是。
答案】三、解答题。
19.（安徽理19）
ⅰ）设证明，ⅱ）证明。
本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力。
证明：（i）由于，所以。
将上式中的右式减左式，得。
从而所要证明的不等式成立。
（ii）设由对数的换底公式得。
于是，所要证明的不等式即为。
其中。故由（i）立知所要证明的不等式成立。
20.（湖北理17）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：
辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
ⅰ）当时，求函数的表达式；
ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）
解：（ⅰ由题意：当；当。
再由已知得。
故函数的表达式为。
（ⅱ）依题意并由（ⅰ）可得。
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值。
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
21.（湖北理21）
ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；
ⅱ）设…，均为正数，证明：
1）若……，则；
2）若…=1，则。
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）
解：（i）的定义域为，令。
当在（0，1）内是增函数；
当时，内是减函数；
故函数处取得最大值。
（ii）（1）由（i）知，当时，有，从而有，得，求和得。
即。（2）①先证。
令。则于是。
由（1）得，即。
②再证。记，则，于是由（1）得。
即。综合①②，2）得证。
2023年高考题。
一、选择题。
1.（2010上海文）15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 （
a）1bc）2d）3.
答案 c解析：当直线过点b(1,1)时，z最大值为2
2.（2010浙江理）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数。
abc）1d）2
答案 c解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选c，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。
3.（2010全国卷2理）（5）不等式的解集为。
ab）cd）
答案】c命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法。
解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选c
4.（2010全国卷2文）(5)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为。
a）1b)2 (c)3 (d)4
解析】c：本题考查了线性规划的知识。
作出可行域，作出目标函数线，可得直线与与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时。
5.（2010全国卷2文）（2）不等式＜0的解集为。
ab） cd）
解析】a ：本题考查了不等式的解法。
故选a6.（2010江西理）3.不等式的解集是（ ）
ab. c. d.
答案】 a解析】考查绝对值不等式的化简。绝对值大于本身，值为负数。，解得a。
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
7.（2010安徽文）（8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是。
a）3b） 4c） 6d）8
答案 c解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。
规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值。
8.（2010重庆文）（7）设变量满足约束条件则的最大值为。
a）0b）2
c）4d）6
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点b时，在y轴上截距最小，z最大。
由b（2,2）知4
解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选a，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。
10.（2010重庆理数）（7）已知 x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是。
a.3b.4
c. d.
答案 b解析：考察均值不等式。
整理得。即，又，**：状。元。源]
11.（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为。
a.—2 b.4 c.6 d.8
答案 c解析：不等式组表示的平面区域如图所示。
当直线过点b（3,0）的时候，z取得最大值6
12.（2010北京理）（7）设不等式组表示的平面区域为d，若指数函数y=的图像上存在区域d上的点，则a 的取值范围是。
（a）(1,3b )[2,3c ) 1,2d )[3, ]
答案：a13.（2010四川理）（12）设，则的最。
小值是。a）2 （b）4 （cd）5解析：
当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立。
如取a＝,b＝,c＝满足条件。
答案：b
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