2023年北京市春季普通高中会考。
数学试卷。一、 选择题（每小题3分，共60分）
1.已知集合，，那么集合（ ）
a． bc． d．
2.不等式的解集是（ ）
a． b． c． d．
3.一个空间几何体的三视图如图所示，那么这个空间几何体是（ ）
a． 球 b． 圆锥 c．正方体 d．圆柱。
4．已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是（ ）
ab．cd．
5．某校有学生人，其中高一学生人．为调查学生了解消防知识的现状，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个人的样本，那么样本中高一学生的人数为（ ）
abcd．6.已知四个函数，，，其中的奇函数是（ ）
abcd．7.如图，正方体的棱长为，那么四棱锥的体积是（ ）
a． b． c． d．
8.已知函数，那么等于（ ）
a． b． c． d．
9.函数的零点个数是（ ）
a．个 b．个 c．个 d．个
10．已知，那么等于（ ）
a． bcd．
11.在中，是的中点，那么等于（ ）
a． b． c． d．
12. 不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
ab． cd．
13. 在中，，，那么等于（ ）
a． bcd．
14.上海世博会期间，某日时至时累计入园人数的折线图如图所示，那么在时时，时时，……时时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）
a．时时 b．时时c．时时d．时时。
15. 已知两条直线，和平面，那么下列命题中的真命题为（ ）
a．若，，则b．若，，则。
c．若，，，则 d．若 ，，则。
16.已知，那么等于（ ）
a． b． c． d．
17.已知，且，那么的最小值是（ ）
abcd．18.某校高二年级开设三门数学选修课程，如果甲、乙两名同学各从中任选一门，那么他们所选课程恰好相同的概率为（ ）
a． b． c． d．
19.已知，且，那么下列结论中不可能成立的是（ ）
a． b． c． d．
20.我国《国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是（ ）
a． b． c． d．
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
21.在等差数列中，如果，，那么。
22.如果函数的图像经过点，那么。
23.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，当输入时，输出的结果为。
24.某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果以为组距分成组：，，得到如图所示的频率分布直方图。
如果从左到右的个小矩形的面积依次为，，，那么这次百米测试中，成绩大于等于秒的学生人数为。
三、解答题（共3小题，共28分）
25.（本小题9分）
已知圆心为的圆经过坐标原点．
1）求圆的方程；（2）设直线与圆交于，两点，求．
26. （本小题9分）
在直角坐标系中，已知，，，其中．
1）若，求；
2）求的最大值；
3）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
27. （本小题10分）
在数列中，，，其中．
1）求，；
2）证明：；
3）试用表示，并证明你的结论．
数学试题答案。
选择题（每小题3分，共60分）
1．【答案】b
解析】．2. 【答案】a
解析】由已知可得，所以可得．
3.【答案】d
解析】由俯视图为圆，而正视图和侧视图为矩形易知该空间几何体为圆柱．
4．【答案】a
解析】由题意可得直线的方程为，整理得．
5【答案】c
解析】结合分层抽样需要按比例可得需要抽取的高一学生人数为．
6. 【答案】a
解析】对于选项，函数为偶函数；对于选项，函数是非奇非偶函数；
对于选项，函数也是非奇非偶函数．
7. 【答案】b
解析】根据锥体的体积计算公式可得．
8. 【答案】a
解析】根据诱导公式可得．
9． 【答案】c
解析】令，则或者，解得或，所以函数有两个零点．
10． 【答案】c
解析】由已知可得．
11.【答案】d
解析】由平行四边形法则不难得出．
12. 【答案】b
解析】画出该平面区域易知其为等腰直角三角形，且直角腰长为，所以面积为．
13. 【答案】d
解析】由正弦定理可得，又因为，所以，则，所以，则为直角三角形，所以．
14.【答案】b
解析】各个时间段入园人数为图像上相邻两个点的纵坐标之差，观察图像可得时时入园人数最多．
15.【答案】c
解析】选项即为线面平行的判定定理，显然是正确的．
16【答案】a
解析】由二倍角的余弦公式可得．
17【答案】b
解析】由均值不等式结合已知条件可得，当且仅当时取得等号．
所以的最小值为．
18. 【答案】d
解析】根据古典概型可得所求概率为．
19. 【答案】c
解析】若，则可得，所以显然与已知条件相矛盾．
a． b． c． d．
答案】d解析】由题意可得，整理得．
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
21.【答案】
解析】因为，所以．
22.【答案】
解析】由题意可得．
23.【答案】
解析】根据题意可得该程序框图的功能是计算一个数的绝对值，所以当输入的是时，得到的为．
24.【答案】；．
解析】，成绩大于秒的学生人数为．
三、解答题（共3小题，共28分）
25.（本小题9分）
解析：（1）由题意可得该圆的半径，则其标准方程为．
2）可算得圆心到直线的距离，所以．
26. （本小题9分）
解析：（1）由已知可得，所以由可得，所以．
2）由已知可得，所以，所以当时，易知取到最大值．
3）因为，，所以，又因为，所以易知，所以必定为锐角；又，所以，也显然大于零，所以也必定为锐角；
而由（2）知，令，可以解得，所以便可以得到。
当时，为钝角．综上可得当且仅当时，为钝角三角形．
27. （本小题10分）
解析：（1），．
2）由已知可得，所以得证；
又由已知可得，将上述个等式累乘可得，因为，所以，又，所以，所以得证．
3）因为，所以，即，所以．
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