【2023年丰泽区初中学业质量检查】
例、(12分)如图，直线mn分别与x轴、y轴交于点m，n，与反比例函数y＝（x>0）的图象相交于点a，b．过点a分别作ac⊥x轴，ae⊥y轴，垂足分别为c，e；过点b分别作bf⊥x轴，bd⊥y轴，垂足分别为f，d，ac与bd交于点k，连接cd．
1）比较大小：s四边形aeoc s四边形odbf ；（填“>,2）求证：＝；
3）试判断an与bm有怎样的数量关系，并说明理由。
25．解：（1）s矩形aeoc ＝s矩形bdof ．…3分。
2）∵s四边形aedk ＝s矩形aeoc －s矩形dock ，s四边形cfbk ＝s矩形bdof －s矩形dock ．
s四边形aedk ＝s四边形cfbk ……5分。
ak · dk＝bk · ck．
7分。3）∵＝akb＝∠ckd＝90°，∴akb∽△ckd． 8分。
∠abk＝∠cdk，∴ab∥cd． 9分。
ac∥y轴，∴四边形acdn是平行四边形．∴an＝cd． 10分。
同理bm＝cd． ∴an＝bm． 12分。
例．（14分）如图，已知直线y＝x－1与y轴交于点c，将抛物线y＝－(x-2) 2向上平移n个单位（n＞0）后与x轴交于a，b两点。
1）直接写出点c的坐标； （2）当经过c，a，b三点的圆的面积最小时，求n的值；在y 轴右侧的抛物线上是否存在一点p,使得⊙既与直线y＝x－1相切，又与y轴相切？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。
26. 解：（1）令x=0,y=0-1=-1,∴点c的坐标（0,-1） 3分。
2）平移后二次函数的解析式为y＝－(x－2)2＋n
由题意知：过c，a，b三点的圆的圆心。
一定在直线x＝2上，点c为定点．
当圆的半径等于点c到直线x＝2的距离时，圆的半径最小，从而圆的面积最小．
此时，圆的半径为2，面积为4π． 5分。
设圆心为m，直线x＝2与x轴交于点d，连结am，则am＝2，dm＝1．在rt△pmd中，ad＝＝＝点a的坐标是（2-，0），代入抛物线得n＝．
当n＝时，过c，a，b三点的圆的面积最小，最小面积为48分。
3）如图2，当点p在直线ac下方时，设直线y=x-1与x轴相交于点e,过点p作pn⊥ec于点n,pm∥y轴交ec于点n,则∠pmn=∠oce, ∠pnm=∠coe=90°, pmn∽△eco 9分。
令y＝x－1＝0.则x=,即oe=,ce=,设点p的横坐标为m,则pm=m-1+ (m－2)2-= pn==，11分。
根据题意，＝m,解得m1=, m2= (不合题意，舍去)
即点p的坐标是（,-12分。
当点p在直线ac上方时，同理可得=-m,解得m3=，即点p的坐标是（）
综上，点p的坐标是（,-或（） 14分。
洛江区2023年初中质检】
例、（12分）如图，面积为8的矩形aboc的。
边ob、oc分别在轴、轴的正半轴上，点a在。
双曲线的图象上，且ac=2．
1）求值；2）将矩形aboc以b旋转中心，顺时针旋转90°后得到。
矩形fbde，双曲线交de于m点，交ef于n点，求△men的面积．
3)在双曲线上是否存在一点p，使得直线pn与直线bc平行？若存在，请求出p点坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵矩形aboc的面积为8，且ac=2
ab=4……1分。
点 a在第一象限，∴a（2，4）……2分。
顶点a在双曲线的图象上，将a点代入双曲线函数中，得：即；……3分。
2）∵矩形aboc以b为旋转中心，顺时针旋转90°后。
得到矩形bdef
点n、e纵坐标为2，点m、e横坐标为6………4分。
将代入中，得，……5分将代入中，则…6分。
m（6，），e（6，2），n（4， 2），∴em=，en= 2……7分。
．……8分。
3）设直线bc的表达式为（），b（2，0）、c(0,4)
得 ∴直线bc的表达式为………9分。
若直线，则可设直线pn为，把n（4，2）代入，得。
直线pn为……10分， 由得
p点的坐标为（1，8）……12分。
例. 14分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线。
经过a（-1，0）、b（0，-5）、c（5，0）．
1）求此抛物线的表达式；
2）若平行于轴的直线与此抛物线交于e、f两点，以线段ef为直径的圆与轴相切，求该圆的半径；
3）在点b、点c之间的抛物线上有点d，使。
的面积最大，求此时点d的坐标及的面积．
解：（1）抛物线经过a（－1，0）、b（0，－5）、c（5，0）
…2分解得……3分。
∴抛物线的表达式为：……4分。
2）如图：当直线ef在轴上方时，设圆的半径为r（r>0）,因为抛物线的对称轴为直线。
f为（r+2，r），代入抛物线的表达式，得………5分。
解得(舍去6分。
当直线ef在轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则f为（r+2，-r），代入抛物线的表达式，得………7分。
解得(舍去)……8分。
所以圆的半径为或。
3）解法一：如图，过d作轴的平行线，交于点m，……9分。
求得直线的表达式为10分。
设d（，）则m（，）
……11分 =
当时，dm有最大值为，……12分即当d（，）时，……13分。
的面积最大＝＝＝14分。
3）解法二：设d（，）则………9分。
……11分。
12分。当时，的面积最大值为，…13分此时，d（，）14分。
2023年惠安县初中学业质量检查】
例.(本题12分)已知：在矩形中，，．分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数（＞0）的图象与边交于点．
1)直接写出线段ae、bf的长（用含的代数式表示）；
2)记△的面积为。
求出与的函数关系式并写出自变量的取值范围；
以为直径作⊙n，若点恰好在⊙n上，请求出此时△的面积．
解：(13分）
(2) 依题意得：， 4分）
……（6分） 其中0＜＜6. …7分）
(2) ∵为⊙n的直径，∴
+=+9009分）∴,即，整理得：,解得：, 不合，舍去) .11分）
当时， =12分）
注：此题有多种解法，其他解法如：等等，可参照以上的评分标准给分。
例.(本题14分)把抛物线：向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线。 如图，点、分别是抛物线与轴的交点，点是抛物线与轴的交点。
1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
2）在抛物线的对称轴上求一点，使得△的周长最小。请在图中画出点的位置，并求点的坐标；
3）若点是抛物线上的一动点，且点在第一象限内， 过点作⊥轴，垂足为，与直线交于点。设点的横坐标为。试**：
四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，简要说明理由；
四边形能否为梯形，若能，请求出符合条件的点坐标；若不能，请说明理由。
解：(1):,对称轴为直线；……3分）
2）如图1，连接bc,交对称轴于点p,连接ap、ac.…（4分）
ac长为定值，∴要使△pac的周长最小，只需pa+pc最小。
点a关于对称轴=1的对称点是点b（3，0），抛物线与y轴交点c的坐标为（0，3）.
由几何知识可知，pa+pc=pb+pc为最小。 …5分）
设直线bc的解析式为y=k+3 ,将b（3，0）代入3k+3=0，得k=-1.∴=3…（6分）
当=1时，y=2 .∴点p的坐标为（1，2）……7分）
3)①四边形不能为平行四边形。……8分）
若四边形为平行四边形，则ef=df,cf=bf.
de⊥轴，∴de∥轴。∴,即oe=be=1.5
当=1.5时， ,即。
当=1.5时， ,即。
＞1.5. 即＞,这与ef=df相矛盾。
四边形不能为平行四边形10分）
四边形能为梯形。
情况1：若∥，则。当时，解得2,易得，.∴11分）
当∥时，四边形为梯形。
当d的坐标为(2,3)时， 四边形为梯形。…（12分）
情况2：若∥，由①易得与不平行。
即当∥时，四边形为梯形。
依题意得：,
de∥轴，点的横坐标为，∴点的横坐标为。
∥,∴即，整理得：.…13分）
解得：, 不合题意，舍去).
当时，解得。
当d的坐标为(,)时， 四边形为梯形。……14分）
综上， 当d的坐标为(2,3)或(,)时， 四边形为梯形。
注：此题有多种解法，其他解法 (或写法)可参照以上的评分标准给分。
2023年安溪县初中学业质量检查】
例．（13分）已知：如图，抛物线的。
顶点坐标是（4，1），与轴的交点为a（0，5）．
1）求抛物线的解析式；
2）若b（，0），c是（1）中抛物线上的点，cd⊥ob，垂足为d，△aob∽△bdc．
求点c的坐标； ②试判定以ac为直径的圆m与轴有怎样的位置关系，并说明理由．
解：(1)设抛物线的解析式为 y=a(x-4)2+1 ∵抛物线经过a(0,5) ∴5=a(0-4)2+1 ∴a=
抛物线的解析式为y= (x-4)2+1即y=x2-2x+5
注：直接写出解析式y= (x-4)2+1不扣分） (3分)
(2)①∵c在抛物线上 ∴设c(m, m2-2m+5) …4分)
即cd=m2-2m+5 od=m ∴bd=od-ob=m- …5分)
∵△aob∽△bdc ∴=即= …7分)
解得m=5 ∴c(58分)
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