苍溪中学课改2013级高一（下）期末模拟考试数学试题（1）
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试试卷120分钟。
一、选择题（每题5分，共50分）
1. 已知，则下列不等式正确的是（ c ）
a． b． c． d．
2.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( b )
abcd．1
3．等差数列的前项和为，若，，则等于（c ）
a．1218 c．24 d．42
4．已知三点共线，则的最小值为（ b ）
a b c d无最小值。
5. 已知为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足⊥，⊥则( d )
a．∥且∥ b．⊥且⊥ c．与相交，且交线垂直于 d．与相交，且交线平行于。
6. 已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则（c ）
a b c d 1
7. 已知两个等差数列和的前项和分别为a和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ d ）
a．2b．3c．4d．5
8.设△abc的内角a,b,c的对边分别为若，则△abc的形状是（ a ）
a.等腰三角形 b.等边三角形 c.直角三角形 d.锐角三角形。
9.在△abc中，若，则△abc是（d）
a等腰三角形 b直角三角形 c等腰直角三角形 d等腰三角形或直角三角形。
10..△abc满足，，设是△内的一点(不在边界上)，定义，其中分别表示△,△的面积，若，则的最小值为（ d ）
a 8b 9c 16d 18
二、填空题（每题5分，共25分。
11. 球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为。
12．函数的最大值是。
13.等差数列中，，则的值为15
14.已知在中，是的垂心，且满足，则的面积
15.下列命题：
中，若，则；
若a，b，c为的三个内角，则的最小值为。
已知，则数列中的最小项为；
若函数，且，则；
已知函数，若有，则的取值范围为。
其中所有正确命题的序号是。
三、解答题（16—19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）
16.已知定义在上的函数(其中).
ⅰ）解关于的不等式；
ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围。
解：（ⅰ而，等价于，于是。
当时，，原不等式的解集为；……2分。
当时，，原不等式的解集为；……4分。
当时，，原不等式的解集为………6分。
ⅱ）不等式，即恒成立………8分。
又当时， =当且仅当时取“=”号). 10分。
………12分。
17.（本小题满分12分）已知的周长为，且．
1）求边c的长；
2）若的面积为，求角的度数．
解：（1）由题意及正弦定理，得，两式相减，得．
2）由的面积，得，由余弦定理，得，所以。
18.在四棱锥p－abcd中，ab∥cd，ab⊥ad，cd＝2ab，平面pad⊥底面abcd，pa⊥ad，e和f分别是cd和pc的中点．求证：
1)pa⊥底面abcd；
2)be∥平面pad；
3)平面bef⊥平面pcd.
证明：(1)因为平面pad⊥底面abcd，且pa垂直于这两个平面的交线ad，所以pa⊥底面abcd.
2)因为ab∥cd，cd＝2ab，e为cd的中点，所以ab∥de，且ab＝de，所以abed为平行四边形，所以be∥ad.
又因为be 平面pad，ad 平面pad，所以be∥平面pad.
3)因为ab⊥ad，而且abed为平行四边形，所以be⊥cd，ad⊥cd.
由(1)知pa⊥底面abcd，所以pa⊥cd.
又因为ad∩pa＝a，所以cd⊥平面pad，所以cd⊥pd.
因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pd∥ef，所以cd⊥ef，所以cd⊥平面bef，所以平面bef⊥平面pcd.
20. ．如图，设矩形的周长为，把它关于折起来，折过去后，交于，设，求的最大面积及相应的值。
19．在中，内角、、的对边分别为、、,已知、、成等比数列，且。
ⅰ）求的值；
ⅱ）设，求、的值。
解：（ⅰ成等比数列，， 2分。
6分。ⅱ）,即，而，所以①，…8分。
由余弦定理，2=,，10分。
由①②解得或。……12分。
21.已知数列中，
ⅰ）求数列的通项；
ⅱ）求数列的前项和；
ⅲ）若存在，使得成立，求实数的最小值。
解：（ⅰ2分。
即（），又=2，时，数列是以2为首项，3为公比的等比数列。
故4分。ⅱ）由（ⅰ）可知当时，当时，；
当时， ,-②得，
又也满足。9分。
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