第十四章静电场中的导体和电介质。
1. 一带电的平行板电容器中，均匀充满电介质，若在其中挖去一个球形空腔，如图所示，则a、b两点的场强（ ）
ab. cd.
答案：b解：， 所以，
2．点电荷+q位于金属球壳的中心，球壳的内、外半径分别为r1,r2，所带净电荷为0，设无穷远处电势为0，如果移去球壳，则下列说法正确的是：
1） 如果移去球壳，b点电势增加。
2） 如果移去球壳，b点电场强度增加。
3） 如果移去球壳，a点电势增加。
4） 如果移去球壳，a点电场强度增加。
答案：（3）
球壳内，外部场强都为移去球壳对a、b电场强度大小无影响。
有球壳时，a点电势为。
无球壳时显然，移去球壳a点电势增大。
3．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心做一球形闭合面，则对此球形闭合面（ ）
1） 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。
2） 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。
3） 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立。
4） 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。
答案：b，高斯定理成立，但由于，高斯面上分布不对称，所以，无法求出场强。
4．如图所示，把一块原来不带电的金属板b，移近一块已带有正电荷q的金属板a，平行放置，设两板面积都是s，板间距离是d，忽略边缘效应，当b板不接地时，两板间电势差b板接地时。
解：当b板不接地。
b板感应电荷如上图均匀分布。
ab电势差，由电势叠加原理知，所以。
当b板接地，b板感应电荷如图均匀分布。
ab电势差，由电势叠加原理知，所以。
5．如图所示，将两个完全相同的平板电容器，串联起来，在电源保持连接时，将一块介质板放进其中一个电容器c2的两极板之间，则电容器c1电场强度e1，和电容器c2电场强度e2，及电场能量w1，w2的变化情况：
1） e1不变，e2增大，w1不变，w2增大。
2） e1不变，e2减小，w1不变，w2减小，3） e1减小，e2增大，w1减小，w2增大。
4） e1增大，e2减小，w1增大，w2减小。
答案（4）解：充介质前的c1，c2等效电容，充介质后的c1，c2等效电容，所以电容增大。而总电压不变，分配至c1，c2上的电压与电容成反比，又，所以e1增大，e2减小。
c2充介质前，充介质后所以w2减小，而，q增大，c不变，所以w1增大。
6．真空中有一带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的总电量都相等，则。
1） 球体的静电能等于球面的静电能。
2） 球体的静电能大于球面的静电能。
3） 球体的静电能小于球面的静电能。
4） 不能确定。
解：答案为（2）
根据高斯定理，球面内的场强为0，而球体内的场强，球面外和球体外场强均为。
球面的静电能。
球体的静电能为显然球体的静电能大于球面的静电能。
二、计算题。
1．两块无限大平行带电平板，试证明：（1）相向两面的电荷面密度总是大小相等，符号相反；（2）相背两面的电荷面密度总是大小相等，符号相同；（3）设左边导体板带静电荷。求各板面上的电荷面密度。
证明：（1）设两板带电后各面上的电荷面密度分别为：，做底面（平行于导体板）为1的柱形高斯面s1，对其应用高斯定理有。
由于两底面在导体内，所以，两底上各点场强e处处为0
而s1侧面的法线方向与场强方向处处垂直，侧面上各点。
所以， 2）同上，做底面为2的柱形高斯面s2，对s2应用高斯定理。
同理： 再做一柱形高斯面s3，s3的左底上场强为e，右底在导体内的场强处处为0，所以
所以有。3）按题意。
利用上面结果得。
2．一半径为a的接地导体球外有一点电荷，它与球心的距离为b。试求导体球上的感应电荷q’。
解：点电荷q在球心处产生的电位为。
球面上感应电荷元在球心处产生的电位为，则感应电荷在球心处的电位。
球心处等于零的电位是。
从而求得球面上得感应电荷。
3．点电荷处在导体球壳的中心，壳内外半径分别为r1=2.0cm，r2=3.0cm，求（1）导体球壳的电势（2）离球心r=1.
0cm处的电势；（3）把点电荷移离球心1.0cm，再求导体球壳的电势。
解：(1)导体球壳的电势。
2）离球心r处的电势。
3）把点电荷移离球心1.0cm，此时并不影响导体球壳外表面的电荷及球外电场分布。因为导体球壳是等势体，所以在其上任取两点电势差为零，即。
而球壳上任意两点到无穷远经历的路径一样，所以球壳上任意两点的场强一样，所以。
任意两点对应的面电荷密度相同，故此问电。
势与第（1）问相同，等于120v。
3．半径为r的导体球，带有电荷q，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分别为a，b，相对介电常数为，如图所示，求：
1）介质内外的电场强度e和电位移d。
2）介质内的电极化强度p和介质表面上的极化电荷面密度。
3）离球心o为r处的电势u。
4）如果在电介质外罩一半径为b的导体薄球壳，该球壳与导体壳构成一电容器，这电容器的电容多大？
解：由高斯定理和静电平衡条件：
或。当r当r当a当r>b时，
以上e，d方向均为径向，设q为正，则背离球心。
2）介质内的极化强度。
方向为径向，背离球心。
电介质内外表面上的极化电荷面密度为：
3）当时。当时。当。当时。
4．半径为r1和r2（r1（1） 外球的电荷分布电势。
2） 把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷分布及电势。
3） 然后把内球接地，内球的电荷分布及外球的电势改变量。
解：（1）外球的电荷：内表面电荷为-q，外表面电荷为+q，外球电势为。
2）外球接地后，外球外表面电荷为0，内表面电荷为-q，外球电势为0
3）内球接地后，内球电势为0，设其上电荷变为e，外球内层电荷为-e，外层为e’,则-e+e’=-q
所以e’=e-q内球电势。
得。内球的电荷。
此时，外球电势。
外球电势的改变为。
5．两个同轴圆柱面，长度均为l，半径分别为a和b，两圆柱面之间充有介电常数为的均匀介质，当这两个圆柱面带有等量异号电荷+q和-q时，求：
1）在半径为r（a（2）电介质中的总能量是多少？（由积分式算出），能否从此总能量推算圆柱形电容器的电容。
解：已知：a，b，l，
1）当圆柱面上带有等量异号电荷+q，-q时，圆柱体内的电场能量密度为：
在整个薄壳中能量。
2）电介质中总能量：
又，所以。则。
6．在一半径为r、电量为q1的均匀带电圆环l1的几何轴上放一长为2l、电量为q2的均匀带电l2。细圆环中心o与直线近端的距离为a，试求此电荷系统的静电相互能。
解：带电圆环在几何轴上的电位分布为：
在带电直线上选择一坐标为z处的电荷元，dq2与带电细圆环所组成的系统静电能为：
带电细圆环与带电直线组成的带电系统的静电相互能为：所以。
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