班级姓名学号得分。
10分）1．如图所示，a山的登山队员想从山顶到b山与主力队员会合，为节省时间，他们在a山山顶与b山的半山腰上的d点架起了一根钢丝绳（假设是拉直且绷紧的），已知a山山顶的竖直高度ce与ed长度相等（设为40m）。设队员们吊在套环上无初速地沿钢丝绳向下滑动且套环与钢丝绳间的摩擦不计，g取10m/s2。则每个登山队员从a山山顶到达b山半山腰d点所需时间为 4 秒。
12分）2．如图所示，以v0的速度向右匀速行驶的列车上，在高于车厢地板h处的光滑平台边缘有一小球，运动中它与车厢相对静止。某时刻起，列车以加速度a匀加速运动，求小球落在地板上的位置与平台边缘在地板上投影点a相距多远，（设小球落在地板上立即停止运动）
解：以列车参照物，则小球在水平方向相对列车以a的加速度向左作初速为零的匀加速运动，竖直方向作自由落体运动，设小球落到厢底的时间为t，落点距a点距离为s，则根据运动学公式有：
竖直方向：……4分。
水平方向：……4分。
由①②联解得：……4分。
14分）3．用不同的方法估算银河系的质量，所得结果也不相同。以下是诸多估算方法中的一种。
根据观测结果估计，从银河系中心到距离为r=3×109r0（r0表示地球绕太阳运动的轨道半径）的范围内集中了m1=1.5×1011m0（m0表示太阳的质量）的质量。在距银河系中心为r处的星体的运转周期为t=3.
75×108年。求银河系“隐藏”的质量，即在半径为r的球体内未被观察到的物质的质量，计算中可以认为银河系的质量都集中在其中心。（物理竞赛高一p122）
解：对于地球绕太阳转动有：……4分。
设银河系中半径为r的范围内的总质量为m，则有：…②4分。
由①②可解得：……2分。
代入数据解得：……2分。
可见银河系“隐藏”的质量为………2分。
16分）4．如图所示，平直传送带以v0=2m/s的速度匀速运行，a与b相距l=10m，现把质量m=1kg的工件无初速地放在传送带的a处，经过时间t=6s送到b处，求：
1）欲用最短的时间把工件传送到b处，问传送带的运行速度至少为多大？
2）传送带在这一最小速度下运行，物体从a运送到b的过程中，摩擦力对工件做了多少功？
解：（1）经分析可知，工件先匀加速到2m/s，然后随传送带一起作匀速运动，设工件速度由零加速到2m/s过程中的时间为t1，则有：……1分。
………3分。
联立以上各式解得：t1=2s，a=1m/s2 ……2分。
若要用最短的时间把工件送到b处，则必须使工件一直加速到b处才行，设工件加速到b处时的速度为v，此速度即为传送带运行的最小速度，则有：
……④3分。
代入数据解得：……2分。
2）此过程中，摩擦力对工件所做的功转化为工件的动能，根据动能定理有：
…⑥ 4分。
代入数据解得：……2分（16分）5． 如图所示，一根长为l的轻绳，一端固定在o点，另一端拴一个质量为m的小球，开始时用力把绳子拉直，使小球静止在绳子与水平方向成30°角的位置a处。试求放手后小球落至最低点b时对绳子的拉力？
解：如图所示， 由a→c小球自由下落，只受重力作用，此过程中，小球下落的高度为：……2分。
落至c点时的速度为vc，取c点为零势面，根据机械能守恒定律有：
……②3分。
在c点，小球受重力和绳子拉力作用，它克服绳子拉力做功速度发生了突变，由vc变为vc1。且有………3分。
由c→b小球在重力和绳子拉力共同作用下在竖直面内做圆周运动，设小球运动到b点时的速度为vb，取b点为零势面，根据机械能守恒有：
……④3分。
在b点，设绳子受到的拉力为t，则根据牛顿第二定律有：
……⑤3分。
联立上述各式解得：……2分。
18分）6．足球运动员在离球门s1=15m的地方将地面上静止的质量m=0.4kg的足球踢向球门，结果球恰好水平垂直击中球门的横梁，**后落在离球门s2=10m的地方，已知横梁高h=2.5m，空气阻力忽略不计，g=9.
8m/s2，试求：
1）击中横梁之前瞬间，球的速度为多大？
2）运动员至少对足球做了多少功？
3）撞击横梁的过程中损失了多少机械能？
解：（1）足球碰撞横梁前的运动可看成平抛运动的逆过程，设碰前瞬间的速度为v1，碰后瞬间的速度为v2，足球在空中飞行的时间为t，则有：
……①2分。
……②1分。
……③1分。
联立①②③解得：v1=21m/s，v2=14m/s ……2分。
2）足球被踢出瞬间的动能ek0就是运动员对足球做的功w，根据机械能守恒定律有：
……⑤3分。
w=ek0 ……2分。
代入数据解得：w=98（j） …1分。
3）损失的机械能为：……4分。
代入数据解得： …2分。
18分）7．宇宙间某一惯性参照系中，有两个可视为质点的天体a和b，质量分别为m和m，相距l0。开始时a静止，b具有沿a、b连线延伸方向的初速度v0。b由于受到a、b系统之外的力f作用而做匀速运动，试求：
1）a、b间最远距离为多少？ a、b间有最远距离应满足什么条件？
2）从开始到a、b相距最远的过程中，力f做的功是多少？
解：（1）以b为参照系，则此参照系也是惯性系。在此参照系中，开始时a具有速度v0离开b，达到a离b最远时，（设最远距离为l），a相对于b的速度为零。
由机械能守恒有：……3分。
解之得：……3分。
由上式可知：只有在，即：当时才有解，即a、b间有最大距离的条件是：……3分。
2）a、b系统机械能的增加量，就是此过程中力f所做的功。
开始时：系统机械能为：……3分。
当a、b间距离达到最大值l时，两者有相等的速度均为v0，则此时系统的机械能为：
………3分。
由④⑤联立解得：此过程中f做的功为………3分。
18分）8．如图所示，光滑的圆环半径为r，劲度系数为k，自然长度也为r的轻弹簧一端固定在大圆环的顶点o，另一端与一个套在大圆环上的质量为m的小圆环相连，先将小环移至a点使弹簧保持自然长度，然后释放小环让其运动，试求：
1）弹簧与竖直线成θ角时小环的速度？
2）小环在何处时速度最大？
解：（1）如图所示，设小环运动至c点时，弹簧与竖直线成θ角，设此时小环的速度为vc由几何关系可知，小环下落的高度为：
……①2分。
弹簧的伸长量为：
……②2分。
对小环和弹簧组成的系统，运动过程中机械能守恒，取c点所在水平面为零势面，则有：
即：……3分。
联立①②③解得：
…④ 3分。
2）设当小环运动到p，弹簧与竖直方向的夹角为α时，小环的速度最大，此时，小环的受力如图所示，将小环受到的力沿法向和切向分解，当小环沿大环切线方向的合力为零时，切向加速度为零，小环速度最大，则有：
……⑤3分。
……⑥3分。
由上述两式可解得：……2分。
18分）9．如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，与水平面间的动摩擦因数为μ，物体在水平恒力f1的作用下在水平面上做匀速直线运动。今若再对物体施加一个大小与f1相等的力f2。求：
(物理竞赛高一p144)
1）要使物体仍沿原方向做匀速直线运动，则力f2必须满足什么条件？
2）又若物体运动的位移为s，要使合外力对物体做的功最多，则f2又需满足什么条件？
解：要使物体在受到f2的作用后，仍能维持原速度方向做直线运动，所加力f2必与原速度方向在同一竖直平面内（否则物体将偏离原运动方向而运动），即f2应与f1在同一竖直平面内。加上力f2后，物体的受力如图所示，设f2与f1之间的夹角为θ，以f表示f1和f2的大小。
由于竖直方向受力平衡，则有：
…① 2分。
依题意知，未加力f2时有：……2分。
则物体此时所受的合力为：……2分。
由f1=f2=f联立①②③解得：……3分。
由数学知识可知：（其中） …3分。
1）要使物体继续做匀速直线运动，则应有f合=0，结合本题情况，θ可在0°~360°范围内取值，故由⑤式可以得到满足f合=0的θ有两个值θ1和θ2，即。
…⑥ 3分。
1和θ2的方位关系如右图所示。
2）对于一定的s，要合外力对物体所做的功最多，由于合外力与s在同一直线上，故可见只需合外力的值尽可能大即可。由⑤式可知，能使f合得到最大值的θ可以有两个值θ3和θ4，…⑦3分。
3和θ4的方位关系如右图所示，取θ3时，合外力对物体做正功，功值最大；取θ4时，合外力对物体做负功，功值也为最大。
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