09级数模试题。
1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）
解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：
1）地面为连续曲面
2）长方形桌的四条腿长度相同。
3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的。
4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在a、b、c、d处，a、b,c、d的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与a、b，c、d平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab与x轴的夹角记为。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令为a、b离地距离之和，为c、d离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设（1），,均为的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故=0必成立（）。不妨设，g（若也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
已知，均为的连续函数，,且对任意有，求证存在某一，使。
证明：当θ=π时，ab与cd互换位置，故，。作，显然，也是的连续函数，而，由连续函数的取零值定理，存在，，使得，即。又由于，故必有，证毕。 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
2.学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。
（15分）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：
a宿舍的委员数为x人，b宿舍的委员数为y人，c宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
则。x+y+z=10；
x/10=235/1000；
y/10=333/1000；
z/10=432/1000；
x,y,z为正整数；
解得：x=3
y=3z=4
3.一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪**的市场**为每公斤8元，但是**每天会降低0.
1元，问该场应该什么时候**这样的生猪可以获得最大利润。（15分）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
解：设在第t天**这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。
每头猪投入：5t元。
产出：（8-0.1t）（80+2t）元。
利润：z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640
0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4
当t=32或t=33时，zmax=851.25(元)
因此，应该在第32天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。
4. 一奶制品加工厂用牛奶生产a1，a2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤a1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤a2。根据市场需求，生产的a1，a2全部能售出，且每公斤a1获利24元，每公斤a2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的**，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤a1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33元可买到1桶牛奶，买吗？
（3）若买，每天最多买多少？（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元？ (5)a1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？
（15分）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
解：设：每天生产将x桶牛奶加工成a1，y桶牛奶加工成a2，所获得的收益为z元。
加工每桶牛奶的信息表：
1) x+y<=50
z=24*3x + 16*4y=72x+64y
解得， 当 x=20，y=30时， zmax=3360元。
则此时，生产生产计划为20桶牛奶生产a1，30桶牛奶生产a2。
2）设：纯利润为w元。
w=z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>0
则，牛奶33元/桶可以买。
3)若不限定牛奶的**量，则其优化条件变为：
w=39x+31y
解得，当x=0，y=60时 ， wmax=1860元。
则最多购买60桶牛奶。
4) 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n元。
n=wmax/480=3.875（元）
5)若a1的获利为30元，则其优化条件不变。
z1=90x+64y
解得， 当x=0，y=60时，z1max=3840（元）
因此，不必改变生产计划。
5. 在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化的速率大致正比于它的温度与周围介质温度之差，这一结论称为牛顿冷却定律，该定律同样用于加热过程。一个煮硬了的鸡蛋有98℃，将它放在18℃的水池里，5分钟后，鸡蛋的温度为38℃，假定没有感到水变热，问鸡蛋达到20℃，还需多长时间？
（15分）茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。
设：鸡蛋的温度为t，温度变化率就是 dt/dt 其中t为时间，水的温度为t1，则鸡蛋与水温差为 t-t1鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
由题意有：t- t1=kdt/dt (其中k为比例常数) (1)
方程(1)化为 ： dt=kdt/（t- t1） （2）
对（2）两边同时积分之后并整理一下就得到：
t=k*ln（t- t1）+c
则k*ln（98-18）+ c=0
5=k*ln（38-18）+c
t1=k*ln(20-18)+c-[k*ln(38-18)+c]=8.3（min）
所以，还需8.3（min）。
6. 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。
这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。
（15分）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
解：设：报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。
设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。
預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
n的意义。n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n的意义是双重的。
渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。
基本假设。1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。
2、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数，只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
3、假设每日的定购量是n。
4、报童的目的是尽可能的多赚钱。
建立模型。应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。
但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。
1、赚钱。赚钱又可分为两种情况：
r>n，则最终收益为(a-b)n(1)
r0整理得：r/n>(b-c)/(a-c)(2)
2、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。
r/n=(b-c)/(a-c)(3)
3、赔钱。r/n<(b-c)/(a-c)(4)
模型的求解。
首先由(1)式可以看出n与最终的收益呈正相关。收益越多，n的取值越大。但同时订购量n又由需求量r约束，不可能无限的增大。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。
然后分析(3)、(4)两式。因为(3)、(4)分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由(3)、(4)两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
最后重点分析(2)式。
显然式中r表需求量，n表订购量，(b-c)表示退回一份儿报纸赔的钱。因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。由a>b>c,可得a-c>a-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。
蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
然后采用放缩法，把(2)式中的(a-c)换成(a-b)，得到。
r/n<(b-c)/(a-b)(5)
不等式依然成立。
由(5)式再结合(1)式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
7. 谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的。（10分）
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。
具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。
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