商品房还贷方案设计。
摘要。由于现在房子的升值潜力巨大，所以不少人愿意投资房产，又由于房价不断高涨，越来越多的人们不得不向银行贷款，本文就是针对不同情况下如何合理地向银行贷款的问题进行了建模讨论。
对于问题一，我们首先从网上查阅了相关资料，大体了解关于银行贷款方面的基本规则，对题目中所提出的等额本息还款方式进行深入理解。我们把各个月所欠银行的贷款作为突破口，把每个月所欠的银行贷款一一表示出来，从中可以看出规律， 最后我们表示出第个月所欠的银行贷款，由于第个月刚好还完银行的所有贷款，所以我们利用来求出关于求的公式，即每月还款金额。用每月的还款金额乘以还款的月数就是向银行的还款总额。
每月被银行拿走的利息钱我们用王先生每月所欠银行的贷款数乘上月利率即可得到。向银行还款的总额和每月分别被银行拿走的利息钱我们运用vc++6.0编程计算得到结果。
问题二，通常银行贷款还款方式有等额本金和等额本息两种，考虑到王先生的家庭收入稳定我们决定采取等额本息的还款方式。为此，我们建立了两个模型，第一个，极端化方法，我们把王先生手头的15万全都用来首付，并且每个月王先生的开销为最低的1500元，在这个前提下，我们逐步计算每个阶段的还款金额，直到最后的还款金额为0，求出此时的还款总额和还款时长。模型二，在较一般的情况下讨论最优解，我们把满足题目中的约束条件都表示出来，求得最优的首付金额和贷款金额，在此基础上，我们再逐个阶段计算还款的金额，直到最后还款金额为0时，我们求得所对应的还款总数和时长。
将两个模型进行对比，得出最佳方案。
问题三，我们将王先生和他的外甥看作一个整体，把他们手头的现金先集中付清外甥的房价，再将剩余的手头现金全部用于王先生的提前还款，两人集中还王先生的贷款，据此，计算出王先生最后所还的金额总数和还款时长，我们发现由于支付外甥的房价导致所还的利息增多，时间增长，所以让外甥将买房省下的利息一半分给王先生得最佳方案。
关键词：等额本息 vc++6.0 极端化。
问题重述。
1.1问题背景：
近些年来，我国商品房销售火爆。由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。但是，高位在房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。
然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额，又要考虑到偿还的年限问题，因为银行在还贷利息是根据偿还的年限而定。我们在还贷的过程中既要考虑到自己每个月的还贷能力，又要使我们总的还款金额尽可能的少。注意：
向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年。…等。所以我们要寻求一个基本公式满足上述的要求。
1.2问题提出：
第一问：2023年9月1号，武汉市某高校教师王先生到武汉某商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表。这个明细表给出了若向银行借了1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。
王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。如果向银行借1万元，借10年。请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。
第二问：王先生看中了一套135、单价为3230的房子，准备9月10号前成交。他们家每月收入5600元，每月家庭开销在1500-3000元之间服从均。
匀分布，每年还有3万元的年终奖金。这时候王先生手头有15万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：首付不得低于20%）。
第三问：但事情有变：2023年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。
她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新方案，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？
第四问：但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见表2。那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？
请你帮她拿出详细的方案。即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。
第五问：王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗？请说明理由。
如果你支持王先生的观点，问最多可拿出多少钱投资这三个项目，各投资多少？
问题分析。
2.1问题一的分析：
通过上网查阅资料，我们大体了解了银行还贷款的基本规则，并对等额本息还款方式进行进一步的理解。据此，我们通过逐步推导，写出了等额本息还款公式，即每月王先生应该还的本金和，再用等额本息还款公式乘上还款的月数即可求得总共向银行还款的总额。而每个月应该向银行所交的利息，用每个月所欠银行贷款乘月利率即可得到。
2.2问题二的分析：
考虑到王先生的家庭月收入比较固定，所以我们采用等额本息还款方式，据此，我们提出两种模型，一种是采取极端化假设，将王先生手头的钱都用于首付，且每月开销达到最小1500，然后逐个阶段计算所应还的贷款，直到所应还的贷款数为0，看看此时所还的总共的贷款金额和所用时长。另一种是讨论较一般的情况，将所有的约束条件都列出来，求最优解，得到最优的首付、贷款金额，从而求得此时对应的总的还款金额和还款时长，以及王先生每月的开销。将两种模型进行比较即可得到最佳方案。
2.3问题三的分析：
王先生在采取问题二提供的最佳方案的基础上，我们来讨论借给王先生外甥的金额，同样我们用极端化方法，王先生只借给外甥3万元，剩余的钱都由外甥来贷款，通过计算，我们可知，外甥所还的利息太多。于是我们采用把王先生和他外甥看作一个整体的办法，把他们手头的现金先全部用来支付外甥的房价，再将手头剩余的现金用于提前还王先生的贷款，计算出王先生剩余欠款，再逐期计算所应还的金额，直到最后所要还的金额为0时，得到最后还的总的金额和还款时长，通过计算我们可以看到由于支付外甥的房价所花金额太多导致利息增多，还款时间增长，所以我们让外甥节省下来的一半利息分给王先生得到最佳方案。
2.4问题四的分析：
王先生在采取问题三的基础上，采用王先生和他的六个外甥看作一个整体的办法，把七家人看成一家人，七套房子看成一套房子。讲手头剩余的现金全部用来支付房款，并每次得到奖金就提前还款，以减少贷款金额，然后计算出王先生剩余欠款，再逐期计算所应还的金额，直到最后所要还的金额为0时，得到最后还的总的利息和还款时长。用此模型与没进行提前还款的模型作对比，验证模型的成功，最终确定贷款期限和方案。
2.5问题五的分析：
王先生认为应该多向银行借钱，至于这是否合理，我们只需讨论用于投资项目所获得的收益是否比银行的利息要多即可。针对这点，对以往数据进行分析，**赚取收益及各项目所占比例，确定投资组合模型。
模型假设。
1.假设还款期限不受外界因素的影响。
2. 假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值。
3. 假设在贷款期限内利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀等因素的影响。
4. 假设每个月的收入只用于月开销与还款，不用于其他方面。
5.假设王先生以及各个外甥的年终奖金都在每年3月10号发放。
6. 假设年终奖金在每年3月10日发。
7．假设采用等额本息还款方式，每月还款金额不变。
8．假设每发一次奖金，就立即提前还款，且提前还款不影响每月还款金额。
符号说明。
模型建立与求解。
5.1问题一的模型建立与求解。
5.1.1等额本息房贷的还款公式：
先给出等额本息房贷的还款的计算原则：
银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例中随着剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因而升高，但月供总额保持不变。
各个月末所欠银行贷款为：
第一个月末：
第二个月末：
第三个月末：
由此可得第个月末所欠银行贷款为：
由于还款总期数为，也即第月末刚好还完银行所有贷款，因此有：
求得，等本息法：
式中，为每期还款金额 ，为本金（贷款数），为利率（月利率），为贷款期数（按月计算）。
其中： 计算公式：
5.1.2等额本息房贷的还款向银行还款的总额与逐月被银行拿走的利息钱：
由于等额本息还款法，银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金，每月还款的金额必然多于每月产生的利息，否则将永远无法还清债务。所以，逐月被银行拿走的利息钱就是这个月产生的利息。
向银行还款的总额为：
根据题意，其中。
各个月末需还利息为：
第一个月末：
第二个月末：
第三个月末：
第四个月末：
由此可得第n个月末所还利息为：
由题意知，此处。
运用vc++6.0计算（程序见附录1.1）可知：向银行还款的总额为13164.82元，每月所还的利息如表5.1所示，解题结果见附录1.2：
表5.1每月所还的利息。
5.2问题二的模型建立与求解。
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