“小升初衔**”培训资料。
第一讲：有理数的意义。
学校姓名。一、阅读思考。
在天气预报中我们经常看到，零上8摄氏度可以记作+8℃，零下5摄氏度可以记作℃.这里的“”是性质符号，叫做“负号”。
这里“负号”的含义你是能理解吗？可在历史上，负数的引入经历了漫长而曲折的过程。直到16世纪，欧洲大多数的数学家都还不承认负数，他们觉得，“0”就是什么也没有，有什么东西能够比“什么都没有”还小呢？
德国大数学家史提芬大声说道：负数是“虚伪”的零下，仅仅是“记号而已”。实际上我国古代的数学名著《九章算术》里就早已明确指出：
如果“卖”是正，则“买”就是负；如果“余钱”是正，则“不足”就是负，在世界上最先对负数做出了合理解释。
有了新成员“负数”的加入，数的范围就扩大到有理数。
二、正数与负数。
1、就像表示温度那样，+8℃和℃表示的是相反意义的量；
表示收入与支出，+100元和元也表示相反意义的量；
表示相反意义的量，其中一种量可以用原来学习过的除了“0”以外的自然数和分数（小数）表示，现在我们称为“正整数和正分数”——统称为正有理数；
和它们意义相反的量，在正整数和正分数前面加上一个“”来表示，称为“负整数和负分数”——统称为负有理数；
0既不是正有理数也不是负有理数，但是它也是有理数。
2、正、负数的表示：
正数表示为：+1，+2，+，
负数表示为：，…
1）正数前面的性质符号“+”可以省略不写，但是负数前面性质符号“”不能省略。
2）正数和负数是相反意义的量，哪种意义为正是可以规定的，把一种意义规定为正，则相反意义的量规定为负。
例如：常常把“前进”、“上升”、“零上”、“收入”等规定为正，而把“后退”、“下降”、
零下”、“支出”等规定为负。
3：数“0”的再认识。
引入负数以后，“0”不再表示“没有”，例如，0℃并不表示没有温度，而是表示温度介于零上和零下之间，“0”既不是正数，也不是负数。
“正数”是比0大的数，“负数”是比0小的数，“0”是正数与负数的分界。
4：有理数的分类。
1）按照定义分类：整数和分数统称为有理数。
2）按照性质符号分类。
三、典型例题分析。
一）相反意义的量理解。
1、如果表示向东走30m，那么表示。
2、某商品房的销售量比原来增加50件，记作，那么，销售量比原来减少35件，记作销售量增加了件实际表示的意义是。
3、珠穆朗玛峰海拔高度为，吐鲁番盆地海拔高度，珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地的高。
二）有理数的分类。
把下列各数填入相应的括号里：
正数： ；负数： ；
整数： ；分数： ；
正整数： ；
负分数： ；
正有理数： .
负有理数： .
三）有理数的综合应用。
1、一个有理数既不是整数，也不是正数，那么它一定是。
1）这列数第10个数是。
2）这列数第2019个数是。
3、都是不小于并且不大于5的整数，并且。写出所有可能的的值。
4、自行车厂本周计划每天生产300辆自行车，但是由于工人轮休，每天上班的人数不一定相等，每天的实际生产量比原计划的增加值如下表：
根据上表：1） 哪几天生产的自行车数量比原计划多？
2） 星期几生产的自行车最多，是多少辆？星期几生产的自行车最少，是多少辆？
3） 这一周的生产总量是否达到里原计划这一周的生产总量？
第二讲：数与形的第一次结合。
数轴。一、数轴的雏形。
看看生活中的温度计：
数学一开始就是研究“数”和“形”的，我们有时可以用代数方法研究图形问题，有时也可以图形来处理复杂的代数问题。这种数与形的相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想。
二、数轴的认识。
数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
注意：单位长度是人为规定的代表“1”的线段，可长可短，按照实际情况来规定，同一数轴的单位长度一旦确定，则不能改变。）
三、有理数与数轴的关系。
1、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示出来；
2、数轴上的点不是都代表有理数（还有其他数）
例如：（3.1415926……）这个数无限不循环小数不能化成分数或整数，因此它不是有理数，但是这个数仍然能在数轴上表示出来。
四、借助数轴比较有理数的大小。
1、数轴上，0在原点，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧；
2、数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数，即正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
五、例题分析。
一）数轴上的点对应的数与数所对应的点。
1、下面所画数轴正确的是。
2、数轴上表示的点距离原点个单位长度，在数轴上距离原点4个单位长度的点有个，表示的数是。
3、在数轴上，a点表示的数是-5，点a向右移动8个单位长度到达点b，则点b表示的数是又继续向左移动6个单位长度到达点c，则点c表示的数是。
4、数轴上距离原点不超过3个单位长度且表示整数的点有个，它们表示的数分别是。
5、在数轴上，原点和原点右边的点所表示的数是。
在数轴上，原点和原点左边的点所表示的数是。
6、在数轴上，在-3和-4之间的点所表示的数有个。
二）比大小。
1、有理数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系为。
2、数轴上的a表示的数是点b表示的数是4，点c是线段ab的中点，则点c表示的数是。
三）实践应用。
1、某人从a地向东走10m，然后这回向西走了3m，又这回向东走了6m，问此人在a地的哪个方向？距离a地多远？
2、如图，数轴上标出的点，每两个点相距1个单位长度，点a，b，c，d对应的数分别是。
如果，则原点是哪个点？
第三讲：相反数与绝对值。
一、阅读思考。
我们可用正负数表示具有“方向”的量，但是在实际问题中，人们常常不需要考虑“量的方向”。例如：距离、路程、耗油量，对这些量通常不考虑它们的“方向”。
在没有引入负数之前，是用大于0的正数表示这些量的大小。
例如：飞机已经航行了800km，中国土地的面积是967万平方千米，……
则上面的量用“正数”表示，但已失去了“方向”的含义，它们只表示数的大小。
1、 由负数的引入可知，一个负数是由符号和一个正数构成的，例如：或是由“”和“正数5” 构成的。
2、这样，一个正数，既可以表示一个具有“正方向”的量，又可以表示“失去方向的量”，这样一个正数就有两种含义。
二、相反数。
1、像与，与，……
即：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。其中一个数是另一个数的相反数，特别地，0的相反数是0.
2、“只有”的理解：除符号以外，两个数没有别的不同。
3：注意。1）数轴上表示一对相反数的两个点，关于对称。
2）在任何一个数的前面添上“”就得到这个数的相反数。
例如：2的相反数是的相反数是。
的相反数是。
想一想：一定是负数吗？
3）如图，在数轴上，和互为相反数，则。
4）因为的相反数是的相反数是。
所以：是。三、绝对值。
1、例如：数轴上表示数3的点到原点的距离为。
数轴上表示数的点到原点的距离为。
数轴上表示数的点与原点的距离记作，叫做。
2、正数的绝对值是它负数的绝对值是0的绝对值是。
所以：3:求绝对值也是一种运算，运算符号是“”。
4：绝对值具有非负性，即。
5：若。则。
6：若则若则。
7：互为相反数的两个数的绝对值。
绝对值相等的两个数。
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