例 2024年北京市海淀区中考模拟第25题。
在rt△abc中，∠acb=90°，tan∠bac＝．点d在边ac上（不与a、c重合），连结bd，f为bd的中点．
1）若过点d作de⊥ab于e，连结cf、ef、ce（如图1）．设，则k =
2）若将图1中的△ade绕点a旋转，使得d、e、b三点共线，点f仍为bd的中点（如图2）．求证：be－de＝2cf；
3）若bc＝6，点d在边ac的三等分点处，将线段ad绕点a旋转，点f始终为bd的中点，求线段cf长度的最大值．
图1图2备用图。
动感体验。请打开几何画板文件名“11海淀25”，拖动点d绕着点a旋转，可以体验到，△ade的形状、大小不变，ae＝2de；当d、e、b三点共线时，∠eac＝∠cbe，△cea与△cfb相似，ae＝2bg；cf是rt△ceg斜边上的中线．双击按钮“第（3）题”，拖动点d绕着点a旋转，可以体验到，△cfm中，fm与cm是定长，根据两边之和大于第三边，当f在cm的延长线上时，cf取得最大值．双击按钮“第（2）题”可以切换．
请打开超级画板文件名“11海淀25”，答案。
1）k＝1．
2）证明思路：如图3中，ae＝2de，∠eac＝∠cbe；
如图4中，△cea∽△cfb，ae＝2bg；于是得到eg＝be－de；
如图5中，cf是rt△ceg斜边上的中线．
图3图4图5
3）如图6，△cfm中，fm与cm是定长，根据两边之和大于第三边，cf总小于fm＋cm．
如图7，当f在cm的延长线上时，cf取得最大值．若bc＝6，点d在边ac的三等分点处，当ad＝8时，线段cf长度的最大值为．
如图8，当f在cm上时，cf取得最小值．
图6图7图8
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