例2023年北京市房山区中考模拟第25题

例 2023年北京市房山区中考模拟第25题。

已知：等边三角形abc．

1）如图1，p为等边△abc外一点，且∠bpc＝120°，试猜想线段pa、pb、pc之间的数量关系，并证明你的猜想；

2）如图2，p为等边△abc内一点，且∠apd＝120°，求证：pa＋pc＋pd＞bd．

图1图2动感体验。

请打开几何画板文件名“11房山25”，拖动点p运动，保持∠bpc＝120°，观察左图，可以体验到，△bpc绕着点b逆时针旋转60°得到△bp′a，△bpp′为等边三角形；观察右图，可以体验到，△acp绕着点c逆时针旋转60°得到△bcp′，△cpp′为等边三角形．

双击按钮“第（2）题”，拖动点p运动，保持∠apd＝120°，观察左图，可以体验到，点p是等边△ade外部一点，应用第（1）题的结论，pa＋pd＝pe，在△pce中，pc＋pe＞ce．ce与bd是什么关系呢？△abd绕着点a逆时针旋转60°就是△ace．

右图提供的思路线条显得清晰一些：△apc绕着点a顺时针旋转60°得到△ap′b，△app′是等边三角形，在△bdp′中，bp′＋dp′＞bd．双击按钮“第（1）题”可以切换．

请打开超级画板文件名“11房山25”，答案。

1）猜想：ap＝bp+pc．

证法一，如图3，△bpc绕着点b逆时针旋转60°得到△bp′a，△bpp′为等边三角形．

证法二，如图4，△acp绕着点c逆时针旋转60°得到△bcp′，△cpp′为等边三角形．

图3图42）pa＋pc＋pd＞bd．

证法一，如图5，构造等边△ade，那么△abd≌△ace，bd＝ce．

如图6，点p是等边△ade外部一点，∠apd＝120°，由第（1）题知，pa＋pd＝pe．

如图7，在△pce中，pc＋pe＞ce．

经过等量代换，得到pa＋pc＋pd＞bd．

图5图6图7

证法二，如图8，△apc绕着点a顺时针旋转60°得到△ap′b，△app′是等边三角形，在△bdp′中，bp′＋dp′＞bd．经过等量代换，得到pa＋pc＋pd＞bd．图8