考试覆盖章节。
全等三角形、轴对称、整式乘法因式分解三章。
一、 全等三角形证明。
必考常考知识点：1全等三角形的性质、判定、演绎推理过程、辅助线构造全等模型、等积转化问题。
中等难度（不需加辅助线）略。
辅助线构图。
常见辅助线。
1倍长中线。
如图，已知：ad是△abc的中线，且cd=ab，ae是△abd的中线，求证：ac=2ae.
2截长补短。
5.已知：如图，四边形abcd中，ab=ad，∠bad=60°，∠bcd=120°，求证：bc+dc=ac.
2.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以d为顶点做一个角，使其两边分别交ab于点m，交ac于点n，连接mn，则的周长为。
3利用角平分线。
如图，△abc中，ad平分∠bac，dg⊥bc且平分bc，de⊥ab于e，df⊥ac于f. （1）说明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的长。
3、如图，已知op平分∠aob，c，d分别在oa、ob上，若∠pco+∠pdo=180°，求证：pc=pd.
4作平行造全等。
2、已知：如图，在△abc中，ab=ac，d点在ab边上，e在ac边的延长线上，de交bc于点f，bd=ce，求证：df=ef.
5等积转化转化问题。
**规律：如图10-1，已知：直线m∥n，a、b为直线n上两点，c、p为直线m上两点．
1）请写出图10-1中，面积相等的各对三角形：
2）如果a、b、c为三个定点，点p在m上移动，那么，无论p点移动到任何位置，总有与。
abc的面积相等．理由是：
解决问题：如图10-2，五边形abcde是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图10-3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图10-3中折线cde）还保留着．张大爷想过e点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积)
1）写出设计方案，并在图10-3中画出相应的图形；
2）说明方案设计理由．
实践**。1）在图2中，e、f分别为矩形abcd的边ad、bc的中点，则s阴和s矩形abcd之间满足的关系式为。
2）在图3中，e、f分别为平行四边形abcd的边ad、bc的中点，则s阴和。
s平行四边形abcd之间满足的关系式为。
3）在图4中，e、f分别为任意四边形abcd的边ad、bc的中点，则s阴和。
s四边形abcd之间满足的关系式为。
解决问题：4）在图5中，e、g、f、h分别为任意四边形abcd的边ad、ab、bc、cd的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和是多少？即求s1+ s2+ s3+ s4=？
轴对称（等腰三角形）
1、 必考知识点：轴对称的画法(一般结合坐标系)、坐标系中的对称规则、最短路径问题、等腰三角形的形式判定、等腰三角形的一般规律、等腰三角形中的重要线段、等腰三角形的几何模型。
1画图。如图8，在正方形网格上有一个△abc．
1）作△abc关于直线mn的对称图形（不写作法）；
2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△abc的面积．
2最短路径问题：
（本题6分）
1）如图1，a、b是直线同旁的两个定点．请你在直线上确定一点p，使pa+pb的值最小．
2）如图2，∠aob=45°，p是∠aob内一点，po=10．请你在oa上找一点q，在ob上找一点r，使得△pqr的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是。
2024年西城）24．在rt△abc中，∠acb=90°，∠abc=，点p在△abc的内部．
1) 如图1，ab=2ac，pb=3，点m、n分别在ab、bc边上，则cos=__pmn周长的最小值为___
2) 如图2，若条件ab=2ac不变，而pa=，pb=，pc=1，求△abc的面积；
3) 若pa=，pb=，pc=，且，直接写出∠apb的度数．
26．在四边形abde中，c是bd边的中点．
1）如图(1)，若ac平分， =90°, 则线段ae、ab、de的长度满足的数量关系为。
直接写出答案）
2）如图（2），ac平分， ec平分，若，则线段ab、bd、de、ae的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
3）如图（3），bd = 8，ab=2，de=8，，则线段ae长度的最大值是直接写出答案）．
3一般规律：平行线、角平分线、等腰三角形。
如图，△abc中，∠abc,∠cab的平分线交于点p，过点p作de∥ab，分别交bc、ac于点d、e
求证：de=bd+ae
4等腰三角形中的线段（三线合一）
如图14-29①，在δabc中∠acb=900，ac=bc，m为ab中点，p为ab上一动点（p不与a、b重合），pe⊥ac于点e，pf⊥bc于点f。
（1）求证：me=mf，me⊥mf；
（2）如点p移动至ab的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明。
24．已知：△abc，△def都是等边三角形，m是bc与ef的中点，连接ad，be.
1）如图1，当ef与bc在同一条直线上时，直接写出ad与be的数量关系和位置关系；
2）△abc固定不动，将图1中的△def绕点m顺时针旋转（≤≤角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，**以证明；若不成立，说明理由；
3）△abc固定不动，将图1中的△def绕点m旋转（≤≤角，作dh⊥bc于点h．设bh＝x，线段ab，be，ed，da所围成的图形面积为s．当ab＝6，de＝2时，求s关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
5几何模型。
1共顶点等腰（等边三角形）
已知：在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，过点c作ce⊥bc于c，d为bc边上一点，且bd = ce，连结ad、de．求证：∠bad=∠cde．
24．在△abc 中， ab = ac ，∠bac = 0＜α＜60 ），将线段 bc 绕点 b 逆时针旋转 60
得到线段 bd 。
1）如图 1，直接写出 ∠abd 的大小（用含 α 的式子表示）；
2）如图 2， ∠bce = 150 ， abe = 60 ，判断△abe 的形状并加以证明；
3）在（2）的条件下，连接 de ，若 ∠dec = 45 ，求 α 的值。
eb c b c
图125．（本小题满分7分）
已知：等边三角形abc
如图1，p为等边△abc外一点，且∠bpc=120°．
试猜想线段bp、pc、ap之间的数量关系，并证明你的猜想；
2）如图2，p为等边△abc内一点，且∠apd=120°．
求证：pa+pd+pc＞bd
八年级下期中考试语文知识梳理
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