数学试题。
第ⅰ卷（48分）
考生注意：1．试卷中使用向量的符号表示意义相同。
2．本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟。
3．本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、
“理”考生共同做的题目。
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1．直线的倾斜角为。
2．方程的解是。
3．命题“若＞0，则”的逆命题是。
4．计算。5．函数的最小正周期为。
6．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是。
7．（文科考生做）设函数为偶函数，则实数的值是。
理科考生做）函数(＞1)的值域是。
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中恰有1名是女生的概率
为。9．若直角三角形的顶点是a（－1，0）、b（1，0），则直角顶点c（x，y）的轨迹方。
程为。10．已知（＞0 ，）是r上的增函数，那么的取值范。
围是。11．已知函数的反函数图像恒过定点a，过点a的直线与圆相切，则直线的方程是。
12．设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“海宝”函数。 给出下列函数：
其中是“海宝”函数的序号为。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分。
13．设，若，则实数的取值范围是。
a． b． c． d．
14．在锐角三角形中，若则的值是。
a． b． c． d．
15．已知定义在上的奇函数，满足，则的值为。
a．－1 b．0 c．1 d．2
16．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则的值是。
a．0 b．1 c．2 d．不确定。
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）
已知为虚数，且， 为实数，
文科考生做） 求复数。
理科考生做）若(为虚数单位，) 且虚部为正数 ，求的取值范围。
18．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知向量 （1）当时，求的值。
（2）（文科考生做）求·的最大值与最小值。
（理科考生做）求·， 在上的最大值与最小值。
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．
（1）（文科考生做）当时，求集合。
理科考生做）判定函数的奇偶性，并说明理由。
（2）问：是的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论。
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
上海某玩具厂生产套2023年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为元，且，而每套售出的**为元，其中，（1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？
（2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套**为30元，求的值．（利润 = 销售收入 — 成本）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
在等差数列中，公差，且，1）求的值．
（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得， ，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
3）若自然数(为正整数)
满足< <使得成等比数列，（文科考生做）当时， 用表示．
（理科考生做）求的所有可能值．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，且、两点坐标分别为，是抛物线的准线上的一点，是坐标原点．若直线、、的斜率分别记为：、、如图）
（1）若，求抛物线的方程．
（2）当时，求的值．
（3）如果取， 时，文科考生做）判定和的值大小关系．并说明理由．
（理科考生做）判定和的值大小关系．并说明理由．
通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即和的值大小关系）不变，并证明你的结论．
数学试题参***。
说明。1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中。
评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答**现错误而中断对该题的。
评阅。 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变。
这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过。
后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分。
数。 4．给分或扣分均以1分为单位。
一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
2..；3. 若则m>0； 4.
56.； 7. (文) 1（理）； 8.；
9． ；10. 11. y=1 12. ③
二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
三、（第17至22题）
17．（文）[解一]设z=a+bi（a、br2分。
由=∴a=18分。
又|z|=，即，∴b=， z=112分。
解二] 设z=a+bi（a、br ，）
则。参考解法一评分标准给分）
理） [解一]设z=x+yi（x、yr2分。
由=x=18分。
又|z|=，即， ∴y=， z=1
z虚部为正数， ∴y=， z=1，w=1+2i+ai10分。
|w|=，a[0，1]
|w12分。
解二] （同文科，参考上评分标准给分）
18．[解]（12分。
∴sinxcosx －=0， sin2x=14分。
2x=2k+， x=k6分。
2）（文）f（x8分。
=sinxcosx+cos2x+
sin2x++
=sin（2x+）+110分。
f（x）max=+1，f（x）max=112分。
理）f（x8分。
=sinxcosx+cos2x+
sin2x++
sin（2x+）+19分。
2x10分。
f（x）max=， f（x）max=112分。
19． [解] （1）（文）
b[－2，06分。
理）a={x|
1∴a=（－1，1），定义域关于原点对称3分。
f（x）= lg，则 f（－x）=lg= lg= lg，f（x）是奇函数6分。
2）b={x|
b=[－1－a，1－a8分。
当a 2时， －1－a－3， 1－a－1，由a=（－1，1）， b=[－1－a，1－a]， 有11分。
反之，若，可取－a－1=2，则a=－3，a小于2. （注：反例不唯一）
13分。所以，a 2是的充分非必要条件14分。
20．[解]（1）每套“福娃”所需成本费用为。
3分。4分。
当， 即x=100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元。 …6分。
2）利润为。
8分。9分。
由题意12分。
解得 a= 25， b= 3014分。
21．[解]（1）在等差数列中，公差，且，则3分。
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