06级高数上册期中考试解答。
一、（本题36分，每题6分）
1）求的连续区间。
解：解不等式组。
函数的连续区间为。
2）已知求常数的值。
解： 3）求间断点，并判定其类型。
解：因为。所以是的跳跃间断点；
因为。所以是的第二类间断点。
4）求的二阶导数。
解： 5）设由所确定，求。
解：， 6）设方程确定隐函数，求的值。
解：方程两边关于求导得。
（1）式两边再关于求导得。
当时，由原方程可得，由（1）可得。
由（2）得。
二、（本题18分，每题6分）
1）求极限。
解：原式。2）求曲线的拐点。
解：此函数的定义域为。
当时，，当时，；当时，，所以点是此函数的拐点。
3）求由方程确定的隐函数的微分。
解：原方程可化为。
两边微分得。
三、（本题10分）设为可导函数，试确定常数的值，并求出。
解：，因为可导一定连续，所以。
。所以我们有。再考虑处的可导性。
所以。四、（本题12分）就不同的取值情形，讨论方程实根的个数。
解：考虑函数，当时，单调递增；当时，单调递减。所以是的最小值。
1）当时，方程无实根。
2）当时，方程一个实根。
3）当时，方程两个实根。
五、（本题12分）过曲线上的点作切线，使该切线夹在两坐标轴之间部分的长度最小，求切点的坐标。
解：设是此曲线上一点，方程两边关于求导得，点的切线方程为。
（注意这里利用了）
该切线夹在两坐标轴之间部分的长度的平方为。
考虑函数，
当时，时，过点处切线夹在两坐标轴之间部分的长度最小。
六、（本题12分）设在上连续，在上可导，且，证明：
1）在内存在点，使得；
2）在内存在两个不同的点，使得。
证明：1）在区间上考虑函数，由已知可得在上连续，且，由零点定理，至少存在一点，使得。
2）分别在区间上对函数运用拉格朗日中值定理，至少存在，使得。所以。
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