关于小学数学归一问题的专题研究。
一、归一问题的定义。
归一问题是小学数学中典型的一类应用题。解题时需先根据已知条件，用等分除法求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的**、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。
有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。简而言之，归一问题就是已知相关联的两种量，其中一种量改变，另一种量也随之改变，其变化规律是相同的，但是一组对应量中一份的数量（单一量）始终是不变的。例如：
“买3支铅笔要6块钱，买同样的5支铅笔要多少钱？”
二、归一问题的分类。
根据求"单一量"的步骤的多少，归一问题分为一次归一问题，两次归一问题。求出单一量之后，再根据解题采用乘法还是除法，归一问题又分为一次正归一问题，一次反归一问题、两次正归一问题、两次反归一问题。其中一次正归一和两次正归一统称为正归一问题，一次反归一和两次反归一统称为反归一问题。
1）在解题中，如果只用一步就能求出单一量，再根据乘法求出总量的，叫做一次正归一问题（直进归一问题）。
2）在解题时，如果只用一步求出单一量后，再用总量除以单一量，求出该总量含有几个单一量，即是求份数的，叫做一次返归一问题（逆归一问题）。
3）在解题中，如果要用两步才能求出单一量的，再根据乘法求出总量的，叫做两次正归一问题（两次直进归一问题）。
4）在解题时，如果用两步才能求出单一量，再用除法求出该总量含有几个单一量，即是求份数，叫做两次返归一问题（两次逆归一问题）。
这四类归一问题的相同点：一般情况下，第一步是先求出单一量。不同点：在第一步中求出单一量所需要的步骤以及第二步中采用的是除法还是乘法来求出相关的量。
三、归一问题的基本结构、数量关系。
归一问题属于复合应用题，是在掌握列综合算式解两步以上的复合应用题的基础上进行的。求单一量的过程，是一个有关平均数的求解过程，所以对平均数要有一定的了解。这部分应用题，规律性较强，与比例问题关系密切。
一）基本结构。
归一问题研究的是“总数量”、“单一量”、“总份数”之间的关系，这里“总数量”和“总份数”是相关联的量，其中一个量变化，另一个量也随着变化，变化有相同的规律。而“单一量”是不变的量。
二）数量关系。
归一问题的基本数量关系是：
求出单一量：总数量÷总份数=单一量。
正规一： 单一量×总份数=总数量。
反归一：总数量÷单一量= 总份数。
四、归一问题的解题关键。
分析数量关系，明确解法特点。归一问题的解题规律具有其典型性，需从分析数量关系来入手， 对比题中的条件和问题的异同，认清四类问题解题思路的一般性和特殊性， 认识到归一问题的解法特点，从而把握解题要领。数量关系是对某一类数量的概括，是对具体情境的提高和突破。
“解决问题”的思考方法只有提升到数量关系的高度，才能真正做到“举一反三”、“触类旁通”。在解题时重视三种数量之间的关系，从本质上来分析“归一问题”的结构特征。解答归一问题的关键是利用归一问题中的“单一量”是一定的这一特点，从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，确定下一步运算关系，根据题目的要求算出结果，列出算式，求得问题的解决。
五、归一问题的实例分析。
一、一次正归一问题。
例1：工人甲3小时加工了42个零件，照这样计算，8小时甲可以加工多少个零件？
分析：要求8小时加工了多少个零件，必须先知道：每小时加工多少个零件？从已知3小时加工了42个零件，可以求出平均每小时加工了多少个零件。
解：甲平均每小时加工了多少个零件？
42÷3=14（个）
8小时可以加工多少个零件？
14×8=112（个）
综合算式：42÷3×8=112（个）
答：8小时可以加工112个零件。
例2：甲乙两人合作生产一批灯泡，甲3小时加工42个，乙5小时加工105个，甲乙两人同时加工20小时完成任务的40%，问：这批灯泡共有多少个？
分析：求出甲乙两人工作20小时共同生产的灯泡个数再除以40%就是灯泡总个数，由于工作效率不同，这题存在两个“单一量”，所以要先分别求出甲乙各自的工作效率，再把两个单一量相加乘工作时间求出工作总量。
甲每小时生产的灯泡个数：
42÷3=14(个)
乙每小时生产的灯泡个数：
105÷5=21（个）
甲乙两人20个小时一共生产的灯泡个数：
14+21）×20=700（个）
灯泡总个数：
740÷40%=1750（个）
综合算式：[（42÷3）+(105÷5) ]20÷40%=1750（个）
答：这批灯泡有1750个。
例3：甲乙丙三个工程队合作修一条公路，甲工程队3小时修42千米，乙队的工作效率是甲队的七分之五，丙每小时修的路长是乙的2倍少3千米，甲乙丙三队工作9小时完成任务的五分之三，问：这条公路共有多少千米？
分析：例3相较例2来说又要多求一个“单一量”，根据他们工作效率之间的关系得出各自的工作效率后，再与工作时间相乘求出工作量。根据题意可知完成的工作量占了总量的五分之三的关系，得出零件的总个数。
甲每小时修的路长：
42÷3=14(千米)
乙每小时修的路长：
14×7分之5=10（千米）
丙每小时修的路长：
10×2-3=17（千米）
甲乙丙三队3小时完成的工作量：
14+10+17）×9=405（千米）
公路的总长度：
405÷5分之3=675（千米）
综合算式：答：这条公路共有675千米。
二、两次正归一问题。
例1：3台磨粉机4小时可以加工小麦2184千克。照这样计算，5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克？
分析：根据题意可知，要想求出5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克，必须先求出1台1小时加工多少千克，然后再求5台6小时可加工多少千克。
1 3台磨粉机1小时加工的小麦数量：
2184÷4=546（千克）
2 平均每个工人1小时加工的零件个数：
546÷3=182（千克）
5台磨粉机6小时加工的小麦数：
182×5×6=5460（千克）
综合算式：2184÷4÷3×5×6=5460（千克）
答：5台磨粉机6小时可加工小麦5460千克。
注：这道题是用两步求出“单一量”，再用乘法求出总量，属于两次正归一问题。在求“单一量”时，也可以先求出每台磨粉机4小时加工的小麦数量，再求每台磨粉机1小时加工多少千克小麦（后面的几道例题均可以如此）列式为：
2184÷3÷4×5×6=5460（千克）
例2：2个面点师4小时做蛋糕了72个，现有某厂商订货，要求6小时取货，于是工厂增加了5位面点师同原来的2人共同工作，问：厂商订了多少个蛋糕？
分析：这一题与例4解题思路一样，不同在于它没有直接给出所求需要知道的工作人数。所以要求出有多少个面点师做了多长时间，根据题意很容易得出：
7个面点师做了6个小时。接着就要求出平均每个面点师1小时做的蛋糕个数，即“单一量”，最后根据用人数×工作时间×工作效率，求得厂商订了多少货。
1 工作人数。
5﹢2＝7（人）
2个面点师1小时做的蛋糕个数：
72÷4=18（个）
平均每个工人1小时做的蛋糕个数：
18÷2=9（个）
3 7个工人6小时加工的零件个数（厂商订的零件个数）：
9×7×6=378（个）
综合算式：72÷4÷2×6×（5﹢2）=378（个）
答：厂商订了378个蛋糕。
例3：2台抽水机9小时灌溉水田252公顷，现有5台抽水机3小时完成了任务的一半，问：这片水田有多少公顷？
分析：解题关键在于弄清楚5台抽水机完成的工作量并不是这片水田的总占地面的，而只是面积的一半，所以要在求出工作量的基础上乘2。
平均每台抽水机1小时灌溉的水田面积：
252÷9÷2=14（公顷）
2 5台抽水机3小时完成的灌溉面积：
14×5×3=210（公顷）
3 这片水田的总面积：
210×2=420（公顷）
综合算式：252÷9÷2×5×3=420（公顷）
答：这片水田有420公顷。
例4：2个工人9小时植树252棵，现在工作效率提高到原来的1.5倍，6个工人做了8小时，需要植数的总棵数是完成的2.5倍多30棵，问：需要植树多少棵？
分析：要求出需要植树多少棵，牵扯到和倍问题。首先要知道已经完成的个数，根据条件用完成的工作时间×工作效率×人数就可得到完成的零件数。
重点是这里的工作效率改变了，是原工作效率的1.5倍，所以弄清楚这点，就可以解决这道题。
平均每个工人1小时多少棵：
252÷9÷2=14（个）
提高后的工作效率：
14×1.5=21（个）
6个工人8小时完成的工作量：
21×6×8=1008（个）
4 需要植树多少棵：
1008×2.5+30=2550（个）
合算式：252÷9÷2×1.5×6×8×2.5+30=2550（棵）
答：需要植树2550棵。。
三、一次反归一问题。
例1：一辆货车2次可运送钢材50吨，照这样计算，300吨钢材需要运几次才能运完？
分析：要求300吨钢材需要几次运完，必须知道一辆货车一次运送多少吨钢材，根据题意可以求出这一单一量。再用总数量÷单一量= 总份数，求得最后结果。
1 一辆货车平均每次运送的货物吨数：
50÷2=25（吨）
2 300吨钢材需要运送的次数：
300÷25=12（次）
综合算式：300÷50÷2=12（次）
答：300吨钢材需要12次才能运送完。
注：这道题是先用一步求出的单一量，再用除法求得份数，属于一次反归一问题。
除了这种方法，还可以采用倍比法，就是求出33里面含有多少个50，再根据运送50吨钢材需要2次的关系，求得最后值。列式为：2×（300÷50）=12（次）
四、两次反归一问题。
例1: 服装厂8名工人3小时加工48套校服，照这样的速度，25名工人加工500套校服需要多少小时？
分析：要求25名工人加工500套校服所需的时间，必须知道一名工人每小时加工的校服数量，根据题意可用除法求出单一量。
1 8名工人1小时加工的校服数量：
48÷3=16（套）
一名工人平均每小时加工的校服套数：
16÷8=2（套）
2 25名工人加工500套校服所需的时间：
500÷25÷2=10（小时）
综合算式：500÷25÷（48÷3÷8）=10（小时）
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