第一节向量的内积、长度和正交性。
1. 已知， ,是r3的一组基，用施密特正交化方法将其规范正交化。
分析] 施密特正交化方法是指：将一组线性无关的向量，作特定的线性运算，构造出与原向量组等价的正交单位向量组。 其步骤如下：
将正交化：取；
以上所得向量是两两正交的；
再将单位化：
于是，是与等价的正交单位向量组。
利用施密特正交化方法，可将向量空间的一组基规范正交化(即构造出一个规范正交基)
解取，再将单位化，可得r3的一组规范正交基， ,2. 已知，
求两个向量，使它们与构成非零正交向量组。
已知a是正交矩阵，且第一列为，求a.
分析]求与一组n维列向量正交的非零向量，可利用 “齐次线性方程组ax=o的解集合是与a的行向量都正交的全部向量”，步骤如下：
以为行向量构造矩阵。
然后解齐次线性方程组ax=o，可得基础解系，则基础解系的任意非零线性组合都是与正交的非零向量。
由于a是n阶正交矩阵的充分必要条件是a的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组(即rn的规范正交基)，因此，要构造出一个n阶正交矩阵，需要有n个n维正交单位向量。
解建立齐次线性方程组，即。
解之，得基础解系，，它们都与正交。
再将正交化，
是基础解系的非零线性组合，所以仍然与正交)
于是，,构成一个非零正交向量组。
是一个单位向量，再将上面求出的单位化，有。
它们与共同构成了一个正交单位向量组，于是。
思考题】已知a是正交矩阵，a*是a的伴随矩阵。
证明：a*也是正交矩阵。
提示：利用伴随矩阵的性质以及正交矩阵的性质，证明(a*)t a*=e或者(a*)-1=(a*)t成立。]
分析] 设a是n阶方阵，则以下4个命题互为充分必要条件：
a是正交矩阵。
ata=e (或者aat=e)
a可逆，且a-1=at
a的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组。
可根据，或证明或验证a是否为正交矩阵。
证法一由于a是正交矩阵，故a可逆，且。
伴随矩阵的性质)
于是， 由于(正交矩阵的性质)，得，故a*是正交矩阵。
证法二由于a是正交矩阵，故a可逆，且。
于是， 由于，由以上两式得，所以a*是正交矩阵。
第二节矩阵的特征值和特征向量。
1. 求矩阵的特征值和特征向量。
分析] 对于n阶“数值”方阵a，求特征值和特征向量的步骤如下：
解特征方程，得a的全部特征值(包括重根共n个)；
将a的每个特征值i代入齐次线性方程组，求基础解系，则基础解系的所有非零线性组合就是a的属于特征值i的全体特征向量(即解集合中除零向量外的全体解向量).
注意，根据定义，特征向量必须是非零向量)
解 a的特征方程为：
故特征值为(单重特征值), 三重特征值).
将各个特征值分别代入，求相应的特征向量：
对，解。得基础解系。
所以，是对应于的全部特征向量。
对，解。得基础解系。
所以，是对应于的全部特征向量。
2. 设，并且是a的一个特征向量，求参数a,b的值以及所对应的特征值。
分析] 根据定义，“是方阵a的属于特征值0的特征向量 a =0 ( 0) ”由此可建立方程。
解设对应的特征值为0，则[或]，即。
于是有 3. 设，已知at的特征值为1, 4, -2，求a, b的值。
分析] 3阶方阵有3个特征值。 由于a和at有相同的特征值，故a的全部特征值是1=1, 2=4, 3=-2.
解一 [利用定理：tr(a)= 1+2+…+n；a=12…n.]
a和at有相同的特征值，故a的全部特征值是1, 4, -2，于是。
tr(a)=2+1+b=1+4-2； =2(2a-b) =14(-2).
得a=-2, b=0
解二 (a的特征值就是能够使特征方程=0成立的值)
同解一，a的全部特征值是1, 4, -2，于是。
根据以上任意两式，可得a=-2, b=0
注意，a和at的特征值相同，但特征向量不一定相同。)
4. 设3阶方阵a满足。
求。分析] 本题需利用特征值的如下性质：“设f(x)是关于数x的多项式，是a的任一特征值，则f()是方阵的多项式f(a)的特征值。”
解由于，故a的全部特征值为1, 0, -2.
令f(x)=x3-2x+1，则f(a)=a3-2a+e的全部特征值为f(1)=0, f(0)=1, f(-2)=-3，于是。
5. 设a2-a-2e=o，但a2e且a-e.
证明：a的全部特征值为2和-1.
证 a2-a-2e=o (a-2e) (a+e)=o
两边取行列式，得或
故a的特征值为2或-1. (注意，根据条件a2-a-2e=o尚未确定a的特征值，只是知道特征值取自2或-1)
下面证明2和-1必然都是a的特征值。
已知(a-2e)(a+e)=o，其中a+eo，故a+e是矩阵方程(a-2e)x=o的一个非零解，因此r(a-2e)也可按以下方式证明2是矩阵a的特征值：
证二已知(a-2e)(a+e)=o，将(a+e)和o按列分块，可得a+e的列向量都是齐次线性方程组(a-2e)x=0的解。 又因为a+eo (即a+e中有非零列向量)，故(a-2e)x=0有非零解，于是r(a-2e)证三反证法。 如果2不是a的特征值，则a-2e0，即a-2e可逆，对(a-2e)(a+e)=o两边左乘(a-2e)-1，得a+e=o，与已知条件a -e矛盾，故假设不成立。
已知(a-2e)(a+e)=o，其中a-2eo，转置，得(a+e)t(a-2e)t=o，(a-2e)to，故(a-2e)t是矩阵方程(a+e)tx=o的一个非零解，因此r(a+e)t【思考题1】设a是正交矩阵，且，证明-1是a的特征值。
分析] 要证明-1是a的特征值，就是要证明a+e=0.
证 a是正交矩阵 ata=e，于是。
已知，于是，即a+e=0，所以-1是a的特征值。
思考题2】已知是n阶矩阵a的属于特征值的特征向量，p是n阶可逆矩阵，证明：也是矩阵p-1ap的特征值，并且p-1 是对应于该特征值的特征向量。
分析] 要证明结论成立，就是要证明(p-1ap)(p-1)=(p-1)成立，并且p-1 是非零向量 (因为特征向量必须是非零向量).
证依题意，有a=，于是。
p-1ap)(p-1)=p-1a = p-1 =(p-1)
下面用反证法证明p-1 0.
假设p-1 =0，两边左乘p，得 =0，与是a的特征向量( 0)矛盾，故假设不成立。
综上所述，是p-1ap的特征值，并且p-1 是对应于该特征值的特征向量。
思考题3】设a是4阶方阵，已知，，，求：a的伴随矩阵a*的一个特征值。
分析] 由可知a是可逆矩阵。 于是，根据，有。
如果a有一个特征值 0，则有一个特征值，所以，本题的关键是求出以及a的一个特征值。
解根据伴随矩阵的性质，. 由于，故a可逆。 对等式两边左乘a-1，得。
根据特征值的性质，如果a有一个特征值 0，则有一个特征值。
由于，故。 又。
a有一个特征值 0= -3
于是，有一个特征值。
第三节相似矩阵。
1. 设a和b都是n阶矩阵，且a可逆，证明：ab和ba相似。
分析] 根据相似矩阵的定义，要证明ab和ba相似，就是要证明“存在可逆矩阵p，使得p-1(ab)p=ba”.
证 a是可逆矩阵，并且。
a-1(ab)a = a-1a)(ba) =ba
根据定义，ab和ba相似。
2. 设，.
已知a和b相似，求a, b的值。
解法一 (相似矩阵的特征值相同)
b是对角阵，其特征值就是主对角元1, 4, b.
由于a与b相似，故a的特征值也是1, 4, b，于是。
tr(a)=2+1+a=1+4+b； =2(a+4) =14b
得a=0, b=-2
解法二 (1. 相似矩阵的多项式也是相似矩阵；2. 相似矩阵的行列式相等)
a与b相似，则多项式a+te和b+te相似 (其中t为任意常数)，于是，即。
分别令t=0, -2，有-2(a+4)=4b和-4(a-2) =2(b-2). 得a=0, b=-2
注：对于此类题型，解法一虽然简单些，但并非总是可行的，例如，将题中的相似矩阵a,b改为。
3. 判断如下矩阵是否可对角化，并说明理由：
分析] 矩阵可对角化是指：存在可逆矩阵p，使得a和对角阵相似，即p-1ap=.
满足以下条件之一的n阶矩阵a是可对角化的：
i) a有n个线性无关的特征向量；(充分必要条件)
ii) a的每个特征值的重数=属于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数；(充分必要条件)
iii) a有n个不同的特征值；(仅为充分条件)
iv) a是实对称矩阵。 (仅为充分条件，见第四节)
另外，相似关系属于一种等价关系(具有反身性、对称性、传递性). 因此，如果已知a和b相似，并且b和对角阵相似(b可对角化)，则a也和对角阵相似(a可对角化).
解都是可对角化的，理由：对角阵以及上(下)三角矩阵的特征值就是主对角元，于是3阶方阵和皆有3个不同的特征值，所以可对角化。
③可对角化，理由：③是实对称矩阵。
4. 设。已知a可对角化，试说明理由；
求可逆矩阵p和对角阵，使得p-1ap=；
求ak；设(x)=x2-2x-3，求(a)
分析] 若a可对角化，即，存在可逆矩阵p使得p-1ap=，则可逆阵p和对角阵可按如下方式求出：
1) =diag(1, 2, …n)，其中1, 2, …n就是a的n个特征值；
2)，其中就是属于各个特征值的线性无关的特征向量，也就是的基础解系。
注意，由于的基础解系不是唯一的，故可逆阵p也不是唯一的。 另外，可逆阵p中各个特征向量的次序必须和对角阵中的各个特征值的次序一致。
利用方阵的对角化，可进一步求方阵的幂和多项式：
已知，则。1)，其中；
2)，其中。
第五章作业
检验以下模型中是否存在多重共线性，如果存在，请改善。y 新客车 量。x2 新车的消费者 指数，1967 100 x3 消费者 指数 全部项目，全部城市消费者 1967 100 x4 个人可支配收入，10亿美元。x5 利率，百分数。x6 民间就业劳动人数 千人 一 建立模型。其中，是新客车 量 辆 分...
第五章作业
一 单选题。1 监理规划是监理单位重要的 a a 存档资料b 计划文件c 监理资料d.历史资料。2 下列说法中，符合监理规划的是 a a 由项目总监理工程师主持制定b 监理规划是开展监理工作的第一步c 监理规划是签订合同之前制定的d 监理规划相当于工程项目的初步设计。3 由项目监理机构的专业监理工程...
第五章作业
网络安全第五章作业。2016.4.22p132思考题1.2.3.5.6.75.1给出网络访问控制的简要定义。答 网络访问控制 nac 是对网络进行管理访问的一个概括性术语。nac对登录到网络的用户进行认证，同时决定该用户可以访问哪些数据，执行哪些操作。nac同时可以检查用户的计算机或者移动设备 终端...