第二十六章二次函数
26．1 二次函数及其图像
二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式。y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；
顶点式。y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
交点式。y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点a（x1，0）和 b（x2，0）的抛物线] ；
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）
y=(y3(x-x1)(x-x2))/x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)
求根公式。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式。x是自变量，y是x的二次函数
x1,x2=[-b±(√b^2-4ac))]2a
(即一元二次方程求根公式）（如右图）
求根的方法还有因式分解法和配方法。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像。
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并注明x=什么
3与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质
轴对称。1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
顶点。2.抛物线有一个顶点p，坐标为p ( b/2a ，4ac-b^2;)/4a )
当-b/2a=0时，p在y轴上；当δ= b^2;-4ac=0时，p在x轴上。
开口。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
抛物线与x轴交点个数。
6.抛物线与x轴交点个数
δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。x的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上
虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在上是减函数，在
上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
特殊值的形式。
7.特殊值的形式
①当x=１时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
二次函数的性质。
8.定义域：r
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[4ac-b^2)/4a，
正无穷）；②t，正无穷）
奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。
周期性：无
解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷δ=b^2-4ac,
δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√δ2a，0）和（[-b+√δ2a，0）；
δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴x=(x1+x2)/2 当a>0 且x≧(x1+x2)/2时，y随x的增大而增大，当a>0且x≦（x1+x2）/2时y随x
的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与x轴的两个交点，将x、y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连
用）。 交点式是y=a(x-x1)(x-x2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点x值就是相应x1 x2值。
26．2 用函数观点看一元二次方程
1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
26．3 实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
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