直角三角形与勾股定理。
一、选择题。
1、(2023年湖北荆州模拟5)小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△abc，则ac 边上的高是（ ▲
abcd．
答案： c2、 (2023年江苏南京一模)如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为3和4，则b的面积为。
a．3 b．4 c．5 d．7
答案：73、(2023年广东省佛山市模拟)设a,b,c分别是△abc的三条边，且∠a=60,那么的值是原创）
a.1b.0.5c.2d.3
答案：a4、(2013北仑区一模)12. 如图，四边形abcd中，∠bad=∠acb=90°，ab=ad，ac=4bc，设cd的长为x，四边形abcd的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 （
a． b． c． d．
答案】a5．（2013郑州外国语**卷）如图，两个等圆⊙a、⊙b分别与直线l相切于点c、d，连接ab与直线l相交于点o，∠aob=30°，连接ac、bd，若ab=4，则这两个等圆的半径为。
a． b．1 c． d．2
答案：b6．（2013辽宁葫芦岛一模）已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于 （
a．30b．35°
c．40d．45°
答案：b7．（2013宁波五校联考一模）如图，已知∠aom=60°，在射线om上有点b，使得ab与ob的长度都是整数，由此称b是“完美点”，若oa=8，则图中完美点b的个数为。
a． 1 b． 2 c． 3 d． 4
答案：b8．（2013宁波五校联考一模）如图，已知∠aom=60°，在射线om上有点b，使得ab与ob的长度都是整数，由此称b是“完美点”，若oa=8，则图中完美点b的个数为。
a． 1 b． 2 c． 3 d． 4
答案：a9．如图，在rt△abc中，ab=bc=6，点e，f分别在边ab，bc上，ae=3，cf=1，p是斜边ac上的一个动点，则△pef周长的最小值为。
答案：10、(2023年福州市初中毕业班质量检查) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是。
a．3∶1b．8∶1c．9∶1d．2∶1
a11、 （2023年广西钦州市四模）图1中，每个小正方形的边长为1，的三边a，b，c的大小关系是：
ａ）a答案：c
12. （2023年广西钦州市四模）如图2所示，在rt中，，平分。
6. 如图是某几何体的三视图及相关数据，请写出一个a,b,c,关系的等式 a2+b2=c2
且∠=450，将△绕点顺时针旋转900后，得到△，连接，下列结论：（1）△≌2）△∽3）＋＝4）＋＝其中正确的是 ▲
第8题图。答案】（1) (4)
9（2013河南南阳市模拟）如图，△abc中，∠acb=90°，ab=8cm，d是ab的中点．现将△bcd沿ba方向平移1cm，得到△efg，fg交ac于h，则gh的长等于 cm．
第9题图。答案】3
10、（2013温州模拟）16．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△abc）的长直角边与含45°角的三角尺（△acd）的斜边恰好重合．已知ab=2，e是ac上的一点(ae>ce)，且de=be，则ae的长为。
答案】7511、(2013浙江永嘉一模)14．如图，在△abc中，∠acb=90°，∠a=30°，点d是ab的中点，连结cd．若ac=，则图中长度等于1cm的线段有条．
12．（2013郑州外国语**卷）如图，l∥m，等腰直角三角形abc的直角顶点c在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为度。
答案：2513．（2013江西饶鹰中考模拟）小红在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为，则原直角三角形纸片的斜边长是。
答案：20或。
14、. 2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，rt△abc中，在ac边上取点o画圆使⊙o经过a、b两点，下列结论中：①；以o为圆心，以oc为半径的圆与ab相切；④延长bc交⊙o与d，则a、b、d是⊙o的三等分点．正确的序号是多填或错填不给分)．①
三、解答题。
1、（2013浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分8分）如图，在rt△abc中，∠bac=90°，ac=2ab，点d是ac的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与a、d重合，连结be、ec．试猜想线段be和ec的关系，并证明你的猜想．
答案：解：数量关系为：be=ec，位置关系是：be⊥ec1分。
证明：∵△aed是直角三角形，∠aed=90°，且有一个锐角是45°，∠ead=∠eda=45°，ae=de，∠bac=90°，∠eab=∠ead+∠bac=90°+45°=135°，edc=∠adc－∠eda=180°－45°=135°，∠eab=∠edc，d是ac的中点，ad= ab，ac=2ab，ab=dc，△eab≌△edc，eb=ec，且∠aeb=∠aed=90°，∠dec+∠bed=∠aed=∠bed=90°，be⊥ed8分（中间过程酌情给分）
2．（2023年北京平谷区一模）已知：如图，四边形abcd中，，，e是ad上一点，∠bed=135°，，
求 (1)点c到直线ad的距离；
2）线段bc的长．
答案：解：（1）作cf⊥ad交ad的延长线于f. .1分。
∠adc=120°， cdf=60°.
在rt△cdf中2分。
即点c到直线ad的距离为3.
2）∵ bed=135°， aeb=45°.
， abe=45°.
3分。作bg⊥cf于g.可证四边形abgf是矩形。
fg=ab=2，cg=cffg=1.
，4分。5分。
3．（2013郑州外国语**卷）如图，等边△abc中，ao是∠bac的角平分线，d为ao上一点，以cd为一边且在cd下方作等边△cde,连结be.
1) 求证：△acd≌△bce；
2) 延长be至q, p为bq上一点，连结cp、cq使cp=cq=5, 若bc=8时，求pq的长。
答案：证明：△abc和△cde均为等边三角形，ac=bc , cd=ce 且∠acb=∠dce=60°
acd+∠dcb=∠dcb+∠bce=60°
acd=∠bce
acd≌△bce
2）解：作ch⊥bq交bq于h, 则pq=2hq
在rt△bhc中 ，由已知和（1）得。
cbh=∠cao=30°
ch=4，在rt△chq中，hq=
∴pq=2hq=6
4. （2013江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰直角△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上，从bc边开始绕点a顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别ab、ac于点e、f．
1）小明在旋转中发现：在图1中，线段与相等。请你证明小明发现的结论；
2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点a上，从bc边开始绕点a顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线bc于点d，直角边所在的直线交直线bc于点e．
当0°＜α45°时，小明在旋转中还发现线段bd、ce、de之间存在如下等量关系：
bd 2＋ce 2＝de 2．
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的方法：将△abd沿ad所在的直线对折得到△adf，连接ef（如图2）；
小亮的方法：将△abd绕点a逆时针旋转90°得到△acg，连接eg（如图3）．
请你从中任选一种方法进行证明；
3）小明继续旋转三角板，在**中得出：当45°＜α135°且α≠90°时，等量关系bd 2＋ce 2＝de 2仍然成立．现请你继续**：当135°＜α180°时（如图4），等量关系bd 2＋ce 2＝de 2是否仍然成立？
若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
答案：1）连接ao.
∠abc=90°,ab=ac且o是bc的中点，ao=bo, ∠oae=∠c=45°
∠aoe+∠aof=∠aof+∠cof =90°,∠aoe= ∠cof, ∴aoe≌△cof,∴ae=cf
2）证明小颖的方法：
将△abd沿ad所在的直线对折得到△adf，af＝ab，∠afd＝∠b＝45，∠bad＝∠fad。
又∵ac=ab，af＝ac。
由（1）知，∠fae＝∠cae。
在△aef和△aec中，af＝ ac，∠fae＝∠cae，ae＝ae，△aef≌△aec（sas）。
ce＝fe，∠afe＝∠c＝45。
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