习题。2.1已知半径为、长为的圆柱体内分布着电荷体密度为（）的电荷，式中为常数，求圆柱体内的总电荷量。
解： 2.2 已知分布在半径为的半圆周上的电荷线密度，试求圆心处的电场强度。
习题图2.2
解：建立直角坐标系，并令线电荷位于平面，且关于轴对称，如习题图2-2所示。**电荷上任取一电荷元，其在圆心处产生的电场强度具有和分量。
由于电荷分布关于轴对称，因此，仅需考虑电场强度的分量，即。
考虑到，并将代入上式，求得合成电场强度为。
2.3求宽度为、电荷面密度为的无限长带状电荷在真空中任一点的电场强度。
2.4已知真空中的电荷体密度为。
试求空间各点的电场强度。
解：建立球坐标系，由对称性分析知。根据真空中的高斯定理，得。
故。2.5若在一个电荷密度为，半径为的均匀带电球中，存在一个半径为的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为，如习题图2.5所示，试求空腔中的电场强度。
习题图2.5
解：不带电的球形空腔可看作同时填充电荷密度为和的两种电荷，因此空腔内的电场可认为是由球心位于点、半径为、电荷密度为的带电球与球心位于点、半径为、电荷密度为的带电球共同产生的。由高斯定理，球心位于点、半径为、电荷密度为的带电球在空腔内任一点产生的电场强度为。
球心位于点、半径为、电荷密度为的带电球在空腔内点产生的电场强度为。
式中是由球心o点指向腔心点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。
2.6一点电荷置于一内半径为、外半径为的电介质球壳的球心上，电介质的介电常数为，求（1）空间各区域的电位移矢量和电场强度；（2）电介质球壳内以及内、外表面上的极化电荷分布。
解：（1）以点电荷为球心建立球坐标系，由对称性分析知。根据介质中的高斯定理，得。
利用电介质中的本构关系，得。
2）电介质球壳内（）的极化强度为。
电介质球壳内的极化电荷体密度为。
电介质球壳内的极化电荷面密度分别为。
2.7半径为、带电荷为的导体球一半浸在介电常数为的均匀液态电介质中。求（1）球外的电场和电位分布；（2）导体球表面上的自由电荷面密度。
习题图2.7
解：（1）设球外空气中的电位移矢量和电场强度分别是和，球外液态电介质中的电位移矢量和电场强度分别是和。由对称性分析知，，则由高斯定理。
即。由于电场强度的方向沿径向，因此在空气与液态电介质的分界面上，电场强度只有切向分量，根据边界条件，由上两个方程解得球外任一点的电场强度为。
球外任一点的电位为。
2）空气中导体球表面上的自由电荷面密度为。
液态电介质中导体球表面上的自由电荷面密度为。
2.8两个无限长的同轴圆柱，其半径分别为和（），圆柱表面分别带有电荷面密度为和的面电荷。（1）计算空间各处的电场强度；（2）欲使区域内，则和应满足什么关系？
解：（1）采用圆柱坐标系，由高斯定理，得。
当， 当，
当， 2）令，解得。
2.9证明极化体电荷只在非均匀电介质中或自由电荷存在的区域才有可能存在。
证明。故极化体电荷只在非均匀电介质或自由电荷存在的区域才有可能存在。
2.10有一任意形状的电介质，其极化强度为，试用散度定理证明总的极化电荷为零。
证明：总的极化电荷包括介质表面的极化面电荷和介质体内的极化体电荷，则。
2.11一半径为的介质球，相对介电常数为，其内均匀分布自由电荷，证明球心处的电位为。
证明：建立球坐标系，由对称性分析知。根据介质中的高斯定理，得。
解得。取无穷远处为电位参考点，则球心处的电位为。
2.12一平行板电容器填充两层介质，一层为空气，其厚度，另一层为云母，其厚度。若两极板间加电压1000v，问空气或云母是否会被击穿？
（已知空气的击穿场强为，云母的相对介电常数为，击穿场强为。）
解：设空气中的电场强度为，云母中的电场强度为，则。
在两种介质的分界面上电场强度满足边界条件。
联立上两个方程，可解得。
由于空气中的电场强度大于空气的击穿场强，故空气会被击穿。空气被击穿后，整个电压加在云母上，很容易计算出云母中的电场强度为，小于云母的击穿场强，故云母不会被击穿。
2.13长为的细导线均匀分布有电荷线密度为的线电荷。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场强度；（3）验证。
2.14半径为的球内均匀充满介电常数为的介质，球外是介电常数为的介质。已知球内外的电位分别为。
式中为常数。求（1）两种介质中的电场强度和电位移矢量；（2）两种介质中的自由电荷体密度和介质分界面上的自由电荷面密度。
解：（1）在区域中。
在区域中。2）在区域中。
在区域中。在球面上。
2.15半径为的球内充满电荷体密度为的体电荷，若球内外的电位移矢量为。
式中为常数，求电荷体密度。
解：根据高斯定理的微分形式，得。
2.16同轴圆柱电容器的内导体半径为、外导体半径为，其内一半填充介电常数为的介质，另一半填充介电常数为的介质，求其单位长度的电容。
2.17证明静电平衡时导体表面单位面积所受的力为。
证明：2.18把一半径为、带电荷量的导体球分为两半，求两半球之间的电场力。
解：半径为导体球的电容为。
当导体球带电荷量时具有的电场能量为。
根据虚位移法，导体球单位面积受到的电场力为。
其方向沿导体球的外法线方向，即。
则半个球面受到的电场力为。
2.19如习题图2.19所示，在一块厚度为的导体板上，由两个半径为和的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，若导体板的电导率为，求（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；（3）沿方向的两电极的电阻。
习题图2.19
解：（1）设沿厚度方向的两电极间的电压为，则
2）设内外两圆弧面电极之间的电流为，则。
3）设沿方向的两电极间的电压为，则。
由于与无关，故。
第二章习题
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