《经济数学基础12》课程部分作业（二）讲评。
一、填空题。
1．若，则。
正确答案：。
讲评：由不定积分知，是的导数，而是的一个原函数，所以，已知求等式右端是对求积分，已知求，是对等式右端求导数。
正确解答：
可能出现的错误：对求积分，即。
正确答案：。
讲评：利用导数与不定积分互为逆运算的性质求解。
正确解答：
可能出现的错误：①，没有用性质进行求解。，注意，我们的性质是先积分后求导结果为一个函数，即被积函数，先求导再积分结果为无穷多函数，即被积函数加任意常数。
正确答案：0
讲评：定积分是确定的数值，所以对定积分求导数，结果为0。
正确解答：
可能出现的错误：①计算定积分。，将不定积分的性质用到这里。
正确答案：
讲评：本题主要考查变上限定积分的概念，即变上限定积分结果是被积函数的原函数，所以，对变上限定积分求导数结果应是被积函数再乘以上限的导数。同时，应注意：
交换积分上下限，其结果应变号。
二、单项选择题。
1．下列函数中，（ 是的原函数。
a． b． c． d．
正确答案：d。
讲评：这道题目是求四个被选函数哪个是的原函数，即哪个函数的导数为。
正确解答：因为，所以是的原函数，即答案d正确。
选择a，错误；因为；
选择b，错误；因为；
选择c，错误；因为；
5．下列无穷积分（ ）
a． b． c． d．
正确答案：b。
讲评：利用无穷积分的定义计算。
正确解答：，收敛。所以b正确。
请记住结论：（1），当收敛，当时发散；
2）和，，发散；
3）当发散，收敛；当发散，收敛。
如果能够记住上述结论，就可以直接判断而免去计算。
三、解答题。
1．求下列不定积分。
正确答案：
分析：将被积函数变形为，利用积分公式求解，这里。
正确解法： =
利用对数的性质，
可能出现的错误：①不能将被积函数看成为，因此不知用什么公式求积分；
用错公式，.
正确答案：.
分析：这是一个复合函数的积分计算，采用的方法是凑微分法。这里，则，于是，代入积分式中进行换元，再对直接用公式求积分。
正确解法： =
可能出现的错误：①不能正确地找出微分因子；
用错积分公式，如=
正确答案：.
分析：这是用分部积分法计算积分的题目，且。
2．计算下列定积分：
正确答案：.
分析：注意到被积函数是一个带有绝对值的函数，积分时必须把绝对值符号去掉，根据绝对值函数的定义，就要看看在积分区间是否有变号（即由正变负或由负变正）的情况。
因为，即是使函数改变符号的点，因此利用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和，即。
正确解法： =
可能发生的错误：① 这是将等同于，需要指出的是，定积分中的积分变量是与积分区间有关的，积分区间的不同，可能被积函数的表达式就不同，此题就是一个典型的例子；②计算错误。
正确答案：
分析：这是一个换元积分法求积分的题目，其中，，设法将积分函数变为，然后对求积分即可。
正确解法：方法一：对进行积分，此法没有换元，所以就不用换限）
方法二：换元换限，令，当时，当时，于是。
注意，①定积分的换元积分法进行计算时，换元一定要换限，积分变量要和自己的积分限相对应，此题中，变量的区间是，而变量的积分区间是。
在换元换限时， 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限， 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限， 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值。
可能出现的错误：①换元不换限；
计算错误，如，正确的是：；
公式用错，没有把视为。
正确答案：
分析：这是用分部积分法计算积分的题目，且，得出。
正确解法： =
可能出现的错误：①由得出，注意是的一个原函数，当你写出时，要求导，验证一下是否正确。
三角函数值计记错；正确的是，；
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