第6-9章作业。
第六章近独立粒子的最概然分布。
6．1试证明，在体积v内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为。
d(ε)d ε
解： 式（6.2.13）给出，在体积内，在到到到的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为。
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积v内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为。
上式可以理解为将空间体积元（体积v，动量球壳）除以相格大小而得到的状态数。
自由粒子的能量动量关系为。
因此。将上式代入式（2），即得在体积v内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为。
6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度l内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为。
d(ε)d ε
证明：对于一维自由粒子，有。
由于p的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在。
再由 所以 ， 证毕。
6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积l2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为
d(ε)d ε
证明：对于二维自由粒子，有。
所以，在面积l2内，在内的量子态数为。
换为极坐标，则动量大小在内的量子态数为。
对φ从0至2π积分，并利用则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为
d(ε)d ε 证毕。
6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为=cp，试求在体积v内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为。
d(ε)d ε
解：式（6.2.16）已给出在体积v内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的状态数为。
将极端相对论粒子的能量动量关系。
代入，可得在体积v内，在到的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为。
习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为n和n’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和。
其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。
解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为和，总能量为e，体积为v时，两种粒子的分布和必须满足条件。
才有可能实现。
在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和时各自的微观状态数为。
系统的微观状态数为。
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使或为极大的分布。 利用斯特令公式，由式（3）可得。
为求使为极大的分布，令和各有和的变化，将因而有的变化。 使为极大的分布和必使。
即。但这些和不完全是独立的，它们必须满足条件。
用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得。
根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得。即。
拉氏乘子和由条件（1）确定。 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布。 两个分布的和可以不同，但有共同的。
原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数和能量e具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化。 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的。
第七章玻耳兹曼统计。
7．2根据公式证明，对于极端相对论粒子，有。
上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
解： 处在边长为l的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为。
用指标表示量子数表示系统的体积，，可将上式简记为。
其中。由此可得。
代入压强公式，得。
式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用。
7．4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为式中ps是粒子处在量子态s的概率，，对粒子的所有量子态求和。
解： 根据式（6.6.9），处在能量为的量子态s上的平均粒子数为。
以n表示系统的粒子数，粒子处在量子态s上的概率为。
显然，满足归一化条件。
式中是对粒子的所有可能的量子态求和。 粒子的平均能量可以表示为。
根据式（7.1.13），定域系统的熵为。
最后一步用了式（2），即。
式（5）的熵表达式是颇具启发性的。 熵是广延量，具有相加性。 式（5）意味着一个粒子的熵等于它取决于粒子处在各个可能状态的概率。
如果粒子肯定处在某个状态，即，粒子的熵等于零。 反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的。
如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。 所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。
7．5固体含有a、b两种原子．试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为
其中n是总原子数，x是a原子的百分比，(1一x)是b原子的百分比．注意x<1．上式给出的熵为正值．
证明：a、b两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于nx个a种原子在n个格点随即分布的状态数：
所以混合熵。
当n很大时，利用公式。
证毕。7．9气体以恒定速度v0沿z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。
解： 根据7.8题式（9），以恒定速度沿方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为。
分子平动量的平均值为。
上式头两项积分后分别等于，第三项的积分等于。
因此，2）式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量及整体运动能量之和。
7．15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为。
其中a、b是常数，求粒子的平均能量．
解： 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式中和两面三刀项都是的函数，不能直接将能量均分定理用于项而得。
出的结论。 要通过配方将表达为。
在式（1）中，仅第四项是的函数，又是平方项。 由能量均分定理知。
7．16气柱的高度为h，截面为s，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为。
证明：处在重力场中的气体分子的能量为
所以一个分子的配分函数是
式中 ， 以上讨论的是单原子分子理想气体。对于多原子分子理想气体，讨论方法相同，结果仍可表。
为（ 4 ）式和（ 5 ）式。证明如下。设分子的动能为 ，
而式中是气体分子热运动的平均动能。
玻色统计和费米统计。
8.3 求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式．
解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足。
在弱简并情况下：
与（8.2.4）式比较，可知。
再由（8.2.8）式，得。
8.4假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n．试求0 k时二维电子气体的费米能量、内能和简并压．
解：考虑电子自旋有两种取向后，二维电子气体在ε→ dε的能量范围内电子的量子态数为。
所以0k时电子的最大能量由下式确定：
内能。对于二维电子气体，v＝l2
所以 0k时的简并压。
8.20. 目前由于分子束外延技术的发展，可以制成几个原子层厚的薄膜材料，薄膜中的电子可视为在平面内做自由运动，电子面密度为，试求0k时二维电子气的费米能量和内能。
解：在面积元dxdy中动量在范围内的电子态数为：
则在面积s内，能量在范围内的电子态数为。
t=0时。得到费米能量。内能。
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