习题 8.1
3. 求下列各函数的定义域：
解要使函数的表达式有意义， 必须满足。
即。所以，函数的定义域为。
解 所以，函数的定义域为。
解 所以，函数的定义域为。
4. 求下列各极限：
解原式。
解原式。5. 证明下列极限不存在：
解显然，当点沿直线轴趋近于点时， 有。
显然它随着的值不同而改变的，因此，极限不存在。
解显然，当点沿直线轴趋近于点时， 有。
当点沿直线轴趋近于点时， 有。
因此，极限不存在。
习题 8.2
1. 求下列函数的偏导数：
解解解 5. 求下列函数的二阶偏导数：
解 6. 设，求和。
习题 8.3
1. 求下列函数的全微分：
解 ，2解 ，5
解 ，3. 设求。
解 8. 设，而，求。
解 10. 设，而，求。
解 13. 求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):
解 17. 设，求。
解设则。18. 设，求。
解设则。19. 设，求证：.
解设则。故
24. 设，求。解设则。
习题 8.4
2. 求曲线在对应于的点处的切线与法平面方程。
解曲线在对应于的点为，该点处的切向量。
于是曲线在该点处的切线方程为。
即。所求法平面的方程为。
即。4. 求出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面。
解设所求点对应的参数为，于是曲线在该点处的切向量为。已知平面的法向量为由切线与平面平行，得即解得和于是所求点为或。
5. 求曲面在点处的切平面与法线方程。
解令则。点处的切平面为，即。
点处的法线平面为。
9. 求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。
解令则曲面的法向量为。
曲面在点处的法向量为面的法向量为。
记与的夹角为，则所求的余弦值为。
习题 8.5
1. 求下列函数的极值：
解解方程组求得驻点。
又。故在点处，函数取得极大值。
解解方程组求得驻点。
又。故在点处，函数取得极小值。
4. 要造一个容积等于定数的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸时，才能使它的表面积最小。
解设水池的长为，宽为，高为，则水池的表面积为。
约束条件。作拉格朗日函数。由。解得。
是唯一的驻点，由问题本身可知一定有最小值，所以表面积最小的水池的长和宽都应为，高为。
5. 将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解设矩形的一边长为，另一边长为，假设矩形绕长为的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为。
约束条件。作拉格朗日函数。由。解得。
由于驻点唯一，由问题本身可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为和时，绕短边旋转所得圆柱体体积最大。
第8章小结
一． 多元函数的基本概念。
1) 多元函数的概念。
设是一个非空的平面点集，如果对于内的任意一点，按照某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，它在处的函数值记为，即。
其中称为自变量， 称为因变量。点集称为函数的定义域，点集称为函数的值域。
2) 多元函数的极限。
设函数的定义域为，点为的内点或边界点。如果点且(即点无限趋近于点)时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为函数在时的极限，记为。
或。有时也记为。
或。3) 多元函数的连续性。
与一元函数类似，二元连续函数经过有限次的四则运算和复合运算后仍为二元连续函数。由和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的一个可用式子表示的二元函数称为二元初等函数。一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。
利用这个结论，当要求某个二元初等函数在定义区域内的一点的极限时，只要计算出函数在该点的函数值即可。
与闭区间上一元函数的性质相类似，在有界闭区域上的二元连续函数也有最大值和最小值定理，有界性定理及介值定理。
二． 偏导数与全微分。
1) 偏导数。
求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题。求时，只要把暂时看作常量而对求导数； 求时，则只要把暂时看作常量而对求导数。
定理如果函数的两个混合偏导数及在区域内连续，则在该区域内这两个混合偏导数必相等。
换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，这给混合偏导数的计算带来了方便。
(2) 全微分。
定理(必要条件) 如果函数在点处可微分，则该函数在点处的偏导数必存在，且在点处的全微分为。
定理(充分条件) 如果的偏导数在点连续，则函数在该点的全微分存在。
3) 链式法则。
一元复合函数求导的链式法则推广到多元复合函数的情形：
定理如果函数和都在点处有偏导数，函数在点处具有连偏导数，则复合函数在对应点处有对及的偏导数，并且它们可用下列公式计算：
上述的结论可推广到中间变量多于两个的情形。
(4) 全微分形式的不变性。
无论是作为函数的自变量，还是作为复合函数的中间变量，全微分在形式上完全一样。此性质称为全微分形式不变性。在解题时应用这个性质，有时会收到很好的效果。
(5) 隐函数求导法则
根据多函数求导的链式法则可以导出隐函数的求导公式。
上面的定理可推广应用到多元隐函数的情形。例如，设由方程的隐函数为。则有。
三．偏导数的应用。
1.偏导数在几何上的应用。
设空间曲线的参数方程为。
则曲线上对应于的一点的切线方程。
通过点的法平面方程为。
如果空间曲线的方程为。
则曲线在点的切线方程为。
在点的法平面方程为。
曲面上通过点的切平面方程是。
通过点法线方程是。
曲面在点的切平面方程为。
而法线方程为。
四．多元函数的极值。
1)多元函数的无条件极值。
具有二阶连续偏导数的函数的极值的求解步骤：
第1步解方程组。
求得一切实数解，即可求得一切驻点；
第2步对于每一个驻点，求出二阶导数的值和；
第3步定出的符号，按多元函数极值存在的充分条件判别是否为极值，是极大值还是极小值。 如果是极值，还要算出的值。
2) 多元函数的最大值和最小值问题。
在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数在区域内一定能取得最大值（最小值），而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（最小值）.
3) 条件极值与拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法要找函数在条件下的可能极值点，可以先构造拉格朗日函数。
然后解方程组：
由这个方程组解出及，则其中的就是可能的极值点的坐标。
至于如何确定所求得的点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
第8章作业
第八章电磁感应电磁场。1 长度为l的铜棒，以距端点a处为支点，并以角速率 绕通过支点垂直于铜棒的轴转动。设磁感应强度为b的均匀磁场与轴平行。求棒两端的电势差。2 如图所示，一矩形线圈长l 20cm，宽b 10cm，由100匝导线绕成，放置在无限长直导线才旁边，并和直导线在同一平面内。直导线通过电流为...
第8章作业
第8章接 术。教材习题解答。1 填空题。1 8255a内部包括两组控制电路，其中a组控制 的工作方式和读写操作，b组控制 的工作方式和读写操作。2 8255a的端口a工作于方式2时，使用端口c的 位作为与cpu的外部设备的联络信号。3 当8255a的端口a和端口b均工作于方式1输出时，端口c的pc4...
第8章作业
第8章习题与思考题。1 什么叫同步通信？什么叫异步通信？它们各自有什么优缺点？答 同步通信 数据块开始靠同步字符指示，发送端和接收端用时钟同步。异步通信 以字符为单位传输数据。一次传输的起始位 字符各位 校验位 停止位构成一组完整的信息，称为帧 frame 帧与帧间可有任意个空闲位。同步通信传输效率...