第十二章微分方程。
1、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
不是。不是。
是。2、给定一阶微分方程，（1）求出它的通解；
解：方程两端积分得通解为
（2）求通过点（1，4）的特解；
解：将带入通解解得，故所求特解为
（3）求出与直线相切的解；
解：设切点为，则有，解得，带入通解解得， 故所求特解为
（4）求出满足条件的解。
解：由得， 故所求特解为
3、 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
1） 曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的平方；
解：由已知得方程为。
2） 曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分。
解：由已知点的坐标为， 所以，整理得方程为
4、 求下列微分方程的解：
解：分离变量得，两端积分得，整理得，
解：分离变量得，两端积分得 整理得，
解：分离变量得，两端积分得，整理得，，即。
解：方程变形为， 分离变量得，两端积分得，化简得
解：分离变量得，两端积分得通解为，将。
带入通解得，故所求特解为
5、 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。
解：由已知的微分方程为，方程的通解为，将带入通解得，故所求曲线方程为。
6、 求下列齐次微分方程的解：
解：方程可变形为，令，则。
代入方程得，分离变量得，两端积分化简得，将代入得通解为。即（或）
解：方程可变形为，令，则。
代入方程得，分离变量得，两端积分化简得，将代入得通解为。
解：令，则，代入方程得，分离变量得 ，两端积分整理得，即，将代入得，故所求特解为。
解：方程可变形为，令，则。
代入方程得，分离变量得，两端积分整理得，将代入得通解为，将代入得，故所求特解为
7、 设有连接点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的面积为。求曲线弧的方程。
解：当时，设方程为，则，两端求导得且有初始条件
解方程得，当时，且。
所以的方程为
8、 求下列微分方程的解：
解：方程变形为 ，故方程的通解为
解：方程变形为 ，故方程的通解为
解：方程变形为 （以为未知函数的一阶线性微分方程），故方程的通解为
解：，故通解为：。
把代入，得。
所以特解为。
解：，故通解为：。
把代入，得，所以特解为。
解：令，则，原方程可化为，所以通解为 （另有一特解）
解：令，则方程可化为，分离变量得，两端积分得，故方程的通解为。
解：令，则，代入方程分离变量得，两端积分化简得，将代入得方程的通解为。
9、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于。
解：由题意得微分方程， ,故通解为，把代入得，所以曲线方程为
10、设曲线积分在左半平面内与路径无关，其中可导且，求。
解：令，由已知，即，将代入，得，所以，。
11、求下列微分方程的通解。
解：这是一个全微分方程。
左边。所以通解为。
解：这是一个全微分方程。
左边。所以通解为。
解：这是一个全微分方程。
左边。所以通解为。
解：方程两边同乘以得。
左边。所以通解为。
解：方程两边同乘得，即，所以原方程的通解为，即。
解：方程变形为，方程两边同乘。
得，即，所以原方程的通解为，即。
12、 求下列微分方程的解：
解：，；解：令，原方程化为，分离变量得，故，即，亦即，所以，即原方程的通解为。
解：令，原方程化为，分离变量得，故，即，亦即，所以原方程的通解为。
解：令，原方程化为，即，分离变量得，故，即，亦即，分离变量得，所以，即原方程的通解为（其中）.
解：令，原方程化为，分离变量得，故，即，所以，因而得，分离变量得，所以，，于是，即原方程的通解为（舍去，因为）.
解：方程两边积分得， 由得，所以，于是，由得，所以，再积分得，由得，所以。
13、 设有一质量为m的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为（其中c为常数，v为物体运动的速度），试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。
解：以t = 0对应的物体位置为原点，垂直向下得直向为s轴， o
建立直角坐标系如图所示。由题设得，t = 0 时s = 0，v = 0，从而，积分得，由t = 0 时v = 0得，从而，即，因为，故，即，亦即，整理得，因而，再由t = 0 时s = 0得，因此即为所求关系。
14、 验证及是方程的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解。
解：，故，即是的解。
同理可证也是的解。
又常数，所以与线性无关，因而方程的同解为。
15、 验证是方程的通解。
解：令，因为，常数，所以与是齐次方程的两个线性无关解，从而是齐次方程的通解。
又由于。所以是非齐次方程的一个特解，因此是方程的通解。
16、 验证是方程的通解。
解：设，则，代入方程易验证、均为方程的解，因为常数，故是的通解。
又因为，所以，即是非齐次方程的一个特解，因此是方程的通解。
17、 求解下列微分方程：
解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为。
代入初始条件得，解得。
因而所求特解为。
18、 求解下列微分方程：
解：特征方程为，解之得特征根，故对应的齐次方程的通解为。
又因为，不是特征方程的根，故设非齐次方程的一个特解为，代入原方程得a = 1,因而，从而原方程的通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故对应的齐次方程的通解为。
又因为，是特征方程的单根，故设非齐次方程的一个特解为，代入原方程得，因而，从而原方程的通解为。
解：特征方程为，解之得特征根，故对应的齐次方程的通解为。
又因为，不是特征方程的根，故设非齐次方程的一个特解为，代入原方程得，因而，从而原方程的通解为。
解：特征方程为，解之得特征根。
故对应的齐次方程的通解为。
设非齐次方程的一个特解为，代入原方程得，因而，从而原方程的通解为。
解：特征方程为，解之得特征根。
故对应的齐次方程的通解为。
又因为，不是特征方程的根，故设非齐次方程的一个特解为，代入原方程得，因而，从而原方程的通解为。+
由，所以原方程的特解为。
解：特征方程为，解之得特征根。
故对应的齐次方程的通解为。
又因为，是特征方程的单根，故设非齐次方程的一个特解为，有，
代入原方程得，因而，从而原方程的通解为。
由，所以原方程的特解为。
第十二章微分方程练习题。
1、求下列微分方程的解。
解：原方程可表示成， 这是齐次方程。 令， 则，
原方程可转化为， 两边积分得。
进而得， 或者
这就是原方程的通解。
解：该方程是贝努利bernoulli方程， 令， 则。
原方程化为。
即。将代入上式，得原方程的通解为。
解： 原方程可表示成，即。
因而原方程的通解为。
解：该方程不显含自变量， 设，则，
原方程可转化为
分离变量得两边积分得 , 即。
所以， 即。
对于，分离变量得， 两边积分得。 即。
由（1）式得2）
得，所以。对于， 类似也可得。
故原方程的通解为。
解：该方程对应的齐次方程的特征方程为，
解得。于是该方程对应的齐次方程的通解为
对于方程1）
由于为特征根， 所以设方程（1）有特解。
代入方程（1）得
比较系数得。
对于方程2)
由于为特征根， 所以设方程（2）有特解。
代入方程（2）得
比较系数得， 所以。
根据线性微分方程的解的叠加原理可知，原方程有一特解。
故原方程的通解为。
解：作变换， 则。
原方程化为 ,
即1)这是齐次方程。
令， 则。 于是方程（1）化为。
即 分离变量并两边积分得
由于。所以上式为，
即 将代入上式得
再代入得这就是原方程的通解。
解：该方程可表示成，把看作未知函数，看作自变量，这是一。
个贝努利bernoulli方程。 令，则， 原方程化为。
即 将代入上式得，
即这就是原方程的通解。
将初始条件代入通解，得。 故满足初始条件的特解为。
解：设，则原方程化为
分离变量得两边积分得 , 即
由得。 将初始条件：时代入上式得。
因而， 即。 两边积分得。
将初始条件：时代入上式得，故满足初始条件的特解为 .
解：该方程是一阶线性非齐次微分方程，因而其通解为。
解：原方程可转化为。 其通解为。
将初始条件：代入上式得。
所以满足初始条件的特解为。
解：原方程可转化为，因而其通解为。
解：原方程可转化为 ，两端积分得 ，即。
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