数学每周练习1姓名。
1.已知都是定义在区间上的函数。
(1)若的最小值为-1,求实数a的值; (2)若关于x的方程上只有一个实数解,求a的取值范围。
(3)当a=1时,求证。
2. 设各项均为正数的等比数列设。
(1)求数列的通项公式;(2)若。
(3)设,是否存在关于n的整式,使对一切不小于2的整数n都成立?若存在,求出,若不存在,说明理由。
3.已知函数f(x)=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行.
(ⅰ)求实数a的值;
(ⅱ)若方程f(x)=在[2,4]上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;(参考数据:e=2.71 828…)
(ⅲ)设常数p≥1,数列满足(n∈n*),a1=lnp,求证:≥.
4. 设函数(1)求函数的最小值;(2)设的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线、 。
5.已知函数。
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,如果对任意,,求的取值范围。
6.函数如图,过a0作平行于y轴的直线交的图像于a1,交的图像于p1,要过p1作平行于x轴的直线交于a2,再过a2作平行于y轴的直线交于p2,…,这样一直作下去;设△a1p1a2的面积为s1,……n项和为。
1)求;(2)求证:;(3)若。
3.解:(i)∵,由题知,解得a=1.
ii)由(i)有f(x)=ln(1+x)-x,∴ 原方程可整理为4ln(1+x)-x=m.令g(x)=4ln(1+x)-x,得, 当3∴ 在x=3时g(x)有最大值4ln4-3.∵ g(2)=4ln3-2,g(4)=4ln5-4,∴ g(2)-g(4)==2.
由9e≈24.46<25,于是.∴ g(2)∴ a的取值范围为.
iii)由f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)有,显然0,当x∈(0,+∞时,,当x∈(-1,0)时,,∴f(x)在(-1,0)上是增函数,在上是减函数.∴ f(x)在(-1,+∞上有最大值f(0),而f(0)=0,∴ 当x∈(-1,+∞时,f(x)≤0,因此ln(1+x)≤x.(*由已知有p>an,即p-an>0,所以p-an-1>-1.
∵ an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an),∴由(*)中结论可得an+1-an≤p-1-an,即an+1≤p-1(n∈n*).
当n≥2时, -an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0,即≥an.当n=1,a2=a1+ln(p-lnp),∵lnp=ln(1+p-1)≤p-1, a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1,结论成立.∴ 对n∈n*,an+1≥4.
5.(ⅰ的定义域为(0,+∞当时,>0,故在(0,+∞单调增加;
当时,<0,故在(0,+∞单调减少;当-1<<0时,令=0,解得。
则当时,>0;时,<0.故在单调增加,在单调减少。
ⅱ)不妨假设,而<-1,由(ⅰ)知在(0,+∞单调减少,从而,
等价于令,则。
等价于在(0,+∞单调减少,即。 从而。
故a的取值范围为(-∞2]。
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