习题一向量及其线性运算。
一、填空题：
1． 下列等式何时成立：
1），当；2），当；
3），当；4），，当。
2．，当。3．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：
1）是线性相关 ；
2）不平行，是线性无关 ；
3）共面，是线性相关 ;
4），不共面，是线性无关 。
二、用几何作图证明：
证明：三、设为线段上任一点，证明：存在数，使得。
证明：与平行，可设。
所以，。四、已知向量，问向量是否共面？如果共面，写出它们的线性表示式。
解：因为1）
所以向量共面。线性表示式为（1）式。
习题二空间直角坐标系。
一、填空题：
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是；关于平面的对称点是；关于平面的对称点是；关于原点的对称点是。
2．在空间直角坐标系中，点的对称点的坐标是；关于轴的对称点是；关于轴的对称点是。
3．在空间直角坐标系中，点在平面上的投影点坐标是；在平面上的投影点是；在平面上的投影点是；在轴上的投影点是；在轴上的投影点是；在轴上的投影点是。
4．在空间直角坐标系中，点平面的距离是 3 ；到平面的距离是 2 ；到平面的距离是 1 ；到原点的距离是；到轴的距离是；到轴的距离是；到轴的距离是。
二、 已知点，点在连接、的直线上，且，求点的坐标。
解：设的坐标为，则有由条件，。
三、 已知向量，求的方向余弦及与平行的单位向量。
解：设的方向余弦为，则。
四、 设，计算。
解： 。五、 设三力作用于一点，求合力的大小和方向余弦。
解：合力方向余弦为：
习题三向量的内积和外积。
一、判断题：
1．若，且，则错 ）
2．共面的充分必要条件是对 ）
3错 ）4对 ）
二、已知向量，试计算。
解：1）=；
三、证明：向量和向量垂直。
证明：由于，所以。
与垂直。四、已知垂直，且，计算：
解：1）因为与都垂直，所以与也垂直，因此，注：因为垂直，所以。
五、已知向量不共线，证明：的充要条件是。
证明： 类似可证。
若。于，平行于。
从而共线，矛盾，所以。
六、已知：。问：
1）为何值时，与平行； 2）为何值时，与垂直。
解1），当与平行时，
2），因为与垂直，所以。
七、 已知：，求。
解：，因此， 。
八、若与垂直，垂直，求的夹角。
解：由题设，
由（1）、（2）可得：。
九、已知，其中，求三角形的面积。
解：习题四向量运算的坐标表示及其运算。
一、填空题：
1．平行于轴的向量一般表示式是；平行于轴的向量一般表示式是；平行于轴的向量一般表示式是。
2．向量，，它们的夹角。
3．向量，，当=与=时，平行。
二、设三力，，作用于一质点，使质点产生的位移向量，求合力所做的功。
解：合力。一、 若向量的起点和点重合，试确定它的终点的坐标。
解：设的坐标为，则，所以，。
二、 从点作向量，使，其中，且，求点的坐标。
解：设的坐标为，则，由于平行于，所以不妨设，则，由知：
所以或。三、 向量上的投影向量。
解：向量上的投影向量为。
四、 求单位向量，使它和向量都垂直。
解：显然同时垂直于，，所以所求单位向量为。
五、 三角形的三个顶点为，求其面积。
解：。六、 （1）向量是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。
解：因为所以不共面，以这三个向量为棱所作的。
平行六面体体积。
2）已知以向量为棱所作的平行六面体体积等于4，求的值。
解：因为。所以，所以。
习题五平面及其方程。
一、填空题：
1． 平行于平面且与此平面的距离为3的平面方程是。
2．如果平面与平行，则2；若垂直，则-10 。
二、求满足下列条件的平面方程：
1．过原点引平面的垂线，垂足是点的平面方程。
解：平面的法向量，故由平面的点法式方程知平面方程为：
即。2． 通过点且平行于向量的平面方程。
解：平面的法向量可取为，由点法式知平面方程为：
即。3． 通过点和且平行于轴的平面方程。
解：，由题设可取平面的法向量，所以所求平面方程为，即。
4． 通过点且在轴上截距相等的平面方程。
解：设所求平面方程为由条件得：
因此，所求平面方程为。
5． 求通过三点的平面方程。
解：解：由三点式方程可得所求平面方程为：
化简得：。三、求过轴且垂直于平面的平面方程。
解：所求平面的法向量可取为，由于平面过原点，所以所求。
平面方程为即。
四、求过点且垂直于平面的平面方程。
解：平面的法向量可取为，所以所求平面方程为：
即。五、已知两平面，求平分它们所夹二面角的平面方程。
解：设为所求平面上任一点，则到两平面的距离相等，因此，即，化简可得：或。
习题六空间直线及其方程。
一、 填空题：
1．过点的直线方程是。
2．过点且垂直于直线的平面方程是。
3．过点且垂直于平面的直线方程是，点在此平面上的投影点坐标是；点关于此平面的对称点坐标是。
4．求下列各组中的直线和平面的关系（相交、平行、垂直或直线在平面上）：
1）， 平行 ；
2）， 垂直 ；
3）， 直线在平面上 。
二、求直线的对称式与参数式方程。
解：在直线上取一点直线的方向向量可取为：
所以，直线的对称式方程为。
直线的参数式方程为为参数。
三、求过点且通过直线的平面方程。
解：设所给点为在直线上取一点直线的方向向量为。
所求平面的法向量可取为所以所求平面。
方程为：即。
四、求点到直线的距离。
解：设所给点为在直线上取一点直线的方向向量可取为。
与的夹角。所以点到所给直线的距离为。
五、求过点且与直线和直线都垂直的直线方程。
解：第一条直线的方向向量为。
第二条直线的方向向量为所以所求直线的方向向量可取为：
因此，所求直线方程为：。
六、 求垂直于平面，并通过从点的垂线的平面方程。
解：直线的方向向量可取为过点且垂直于直线的平面。
的方程为即，该平面与直线的交点为。
点的垂线的方程为，由于所求平面垂直于平面，且通过。
直线，故其法向量可取为，从而所求平面的方程为：
即。七、 （重点）过点引直线，使它平行于平面且与直线相交，求该直线的方程。
解：设所求直线的方向向量为由题设：由于与平行，所以。
在直线上取一点，由于所求直线过点且与直线相交，所以向量与直线的方向向量直线的方向向量共面，因此，即。
由（1）、（2）得所以所求直线方程为。
八、 判断两直线：，：是否在同一平面内？若是，是否平行？若相交，求它们的交点坐标。
解：在直线上取一点在直线上取一点，直线的方向向量。
直线的方向向量，由于。
=0，所以与共面。由于，故与不平行，因此相交。
设其交点为，则。
解得故所求交点为。
习题七矩阵的概念及代数运算。
一、 填空题：
1．取，，若，则3； 1； 9； -3。
2．设，，则13； 。
3．设，则当且仅当时，。
4．的充分必要条件是。
二、设，，试计算：1）；2）；
解：1）
三、设，，试计算：；及（为正整数）。
解： 四、计算：
1） 设，求。
解： ；2） 设，求（为正整数）。
解： 五、设，，，试求（为正整数）。
解：其中。一般地，当时，
六、 设，，，计算：；；解：
七、 1）设、为阶方阵，且为对称矩阵，则也是对称矩阵。
2）设、均为阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是。
证明：1），所以也是对称矩阵。
2）已知、均为阶对称矩阵，则是对称矩阵。
八、 设、为阶矩阵，且满足，及，证明：。
证明：因为，，所以。
这样， ，因此，所以，。
习题八行列式。
一、 填空题：
1．设，则。
2．设，则。
3．设，则。
4．设，则 00 。
二、计算下列行列式：
三、解下列方程：
解1）左边解2）注意方程的左边是vandermonde行列式，故。
左边=四、设，是中元素的代数余子式。求的值。
解： =五、设均为可微函数。证明：
证明：左边。
+=右边。
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