1. 在球坐标系中，已知矢量a=aer+beθ+ceφ,其中a、b和c均为常数。（1）问矢量a是否为常矢量；(2)求▽·a和▽×a。
1）a不是常矢量，因为基矢量是变化的。
2. 现有三个矢量a、b、c分别为。
a=sinθcosφer+cosθcosφeθ-sinφeφ
b= z2sinφeρ+z2cosφeφ+2ρzsinφez
c=(3y2-2x)ex+x2ey+2z ez
1) 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？
2) 求出这些矢量源分布。
3) 能画出这些图形吗？
1）无旋场可表为标量场的梯度。
3. (1) 已知某矢量场在球坐标系中可以表示成e(r, θc(r/r3)，请求出其散度与旋度；(2)已知某矢量场在柱坐标系中可以表示成b(z, ρcρeφ，请求出其散度与旋度。c为常数。
4. 证明：
5. 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设a为一已知矢量，p=ax而p=a×x, p和p已知，试求x.
6. 设u是空间坐标x, y, z的函数，证明▽f(u)=(df/du)▽u; ▽a(u)=(da/du)·▽u;
×a(u)= u×(da/du)
7. 对于包含eik·r因子的矢量，如e0eik·r，证明nabla算符对其的各种作用（点积和叉积）等效于ik对该矢量相应的作用。
8.一径向矢量场用f=erf(r)表示，如果▽·f=0，那么函数f(r)会有什么特点？
解：在圆柱坐标系中，由。
得 c为任意常数。
在球坐标系中，由。
得 c为任意常数。
第一章作业
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第一章作业
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