正定。由于正定，函数q的驻点是q(x)的极小点。为求此极小点，令。
即可解得。对照基本迭代格式（1），可知从点出发沿搜索方向。
并取步长即可得q(x)的最小点通常，把方向叫做从点出发的。
newton 方向。从一初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，沿newton 方向并取步长。
为1 的求解方法，称之为newton 法。其具体步骤如下：
1°选取初始数据。选取初始点，给定终止误差，令k :=0.
2°求梯度向量。计算若停止迭代，输出否则，进行3°.
3°构造newton 方向。计算取。
4° 求下一迭代点。令转2°.
例5 用newton 法求解，选取
解：(i)
ii）编写 m 文件 如下：
function [f,df,d2f]=nwfun(x);
f=x(1)^4+25*x(2)^4+x(1)^2*x(2)^2;
df=[4*x(1)^3+2*x(1)*x(2)^2;100*x(2)^3+2*x(1)^2*x(2)];
d2f=[2*x(1)^2+2*x(2)^2,4*x(1)*x(2)
4*x(1)*x(2),300*x(2)^2+2*x(1)^2];
iii）编写主程序文件 如下：
clcx=[2;2];
f0,g1,g2]=nwfun(x);
while norm(g1)>0.00001
p=-inv(g2)*g1;
x=x+p;
f0,g1,g2]=nwfun(x);
endx, f0
如果目标函数是非二次函数，一般地说，用newton 法通过有限轮迭代并不能保证。
可求得其最优解。
为了提高计算精度，我们在迭代时可以采用变步长计算上述问题，编写主程序文件。
example5_2 如下：
clc,clear
x=[2;2];
f0,g1,g2]=nwfun(x);
while norm(g1)>0.00001
p=-inv(g2)*g1;p=p/norm(p);
t=1.0;f=nwfun(x+t*p);
while f>f0
t=t/2;f=nwfun(x+t*p);
endx=x+t*p;
f0,g1,g2]=nwfun(x);
endx,f0
newton 法的优点是收敛速度快；缺点是有时不好用而需采取改进措施，此外，当。
维数较高时，计算的工作量很大。
2.3.1.3 变尺度法。
变尺度法（variable metric algorithm）是近20 多年来发展起来的，它不仅是求解。
无约束极值问题非常有效的算法，而且也已被推广用来求解约束极值问题。由于它既避免计算二阶导数矩阵及其求逆过程，又比梯度法的收敛速度快，特别是对高维问题具有显著的优越性，因而使变尺度法获得了很高的声誉。下面我们就来简要地介绍一种变尺度法—dfp 法的基本原理及其计算过程。
这一方法首先由d**idon 在1959 年提出，后经fletcher 和powell 加以改进。
我们已经知道，牛顿法的搜索方向是为了不计算二阶导数矩阵及其逆阵，我们设法构造另一个矩阵，用它来逼近二阶导数矩阵的逆阵这一类方法也称拟牛顿法（quasi-newton method）.
下面研究如何构造这样的近似矩阵，并将它记为我们要求：每一步都能以现有的信息来确定下一个搜索方向；每做一次选代，目标函数值均有所下降；这些近似矩阵最后应收敛于解点处的hesse 阵的逆阵。
当 f (x)是二次函数时，其hesse 阵为常数阵a，任两点和处的梯度之差为。
或 对于非二次函数，仿照二次函数的情形，要求其 hesse 阵的逆阵的第k +1次近似。
矩阵满足关系式。
这就是常说的拟newton 条件。
若令8)则式（7）变为。
现假定已知，用下式求（设和均为对称正定阵）；
其中称为第k 次校正矩阵。显然，应满足拟newton 条件（9），即要求。
或11)由此可以设想， 的一种比较简单的形式是。
其中和为两个待定列向量。
将式（12）中的代入（11），得。
这说明，应使。
考虑到应为对称阵，最简单的办法就是取。
由式（13）得。
若和不等于零，则有。
于是，得校正矩阵。
从而得到18)
上述矩阵称为尺度矩阵。通常，我们取第一个尺度矩阵为单位阵，以后的尺度矩阵按式（18）逐步形成。可以证明：
（i）当xk 不是极小点且正定时，式（17）右端两项的分母不为零，从而可按式（18）产生下一个尺度矩阵；
（ii）若为对称正定阵，则由式（18）产生的也是对称正定阵；
（iii）由此推出dfp 法的搜索方向为下降方向。
现将 dfp 变尺度法的计算步骤总结如下。
1°给定初始点及梯度允许误差。
2°若则x0即为近似极小点，停止迭代，否则，转向下一步。
3°令（单位矩阵），在方向进行一维搜索，确定最佳步长：
如此可得下一个近似点。
4°一般地，设已得到近似点算出若。
则即为所求的近似解，停止迭代；否则，计算：
并令在方向上进行一维搜索，得，从而可得下一个近似点
5°若满足精度要求，则即为所求的近似解，否则，转回4°，直到求出某点满足精度要求为止。
2.3.2 直接法。
在无约束非线性规划方法中，遇到问题的目标函数不可导或导函数的解析式难以表示时，人们一般需要使用直接搜索方法。同时，由于这些方法一般都比较直观和易于理解，因而在实际应用中常为人们所采用。下面我们介绍powell 方法。
这个方法主要由所谓基本搜索、加速搜索和调整搜索方向三部分组成，具体步骤如下：
1° 选取初始数据。选取初始点n个线性无关初始方向，组成初搜索方向组。
给定终止误差令k :=0.
2°进行基本搜索。令依次沿{}中的方向进行一维搜。
索。对应地得到辅助迭代点即。
否则进行4°.
4°确定调整方向。按下式。
找出m .若。
成立，进行5°.否则，进行6°.
5°调整搜索方向组。令。
同时，令。k :=k +1，转2°.
6°不调整搜索方向组。令转2°.
2.4 matlab 求无约束极值问题。
在 matlab 工具箱中，用于求解无约束极值问题的函数有fminunc 和fminsearch，用。
法介绍如下。
求函数的极小值
其中 x 可以为标量或向量。
matlab 中fminunc 的基本命令是[x,fval]=fminunc(fun,x0,options,p1,p2, .
其中的返回值x 是所求得的极小点，fval 是函数的极小值，其它返回值的含义参见相。
关的帮助。fun 是一个m 文件，当fun只有一个返回值时，它的返回值是函数f (x)；
当fun有两个返回值时，它的第二个返回值是f (x)的梯度向量；当fun有三个返回。
值时，它的第三个返回值是f (x)的二阶导数阵（hessian 阵）.x0是向量x的初始值，options 是优化参数，可以使用缺省参数。p1，p2 是可以传递给fun 的一些参数。
例6 求函数的最小值。
解：编写m 文件 如下：
function [f,g]=fun2(x);
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
g=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)];
编写主函数文件如下：
options = optimset('gradobj','on');
x,y]=fminunc('fun2',rand(1,2),options)
即可求得函数的极小值。
在求极值时，也可以利用二阶导数，编写 m 文件 如下：
function [f,df,d2f]=fun3(x);
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
df=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)];
d2f=[-400*x(2)+1200*x(1)^2+2,-400*x(1)
400*x(1),200];
编写主函数文件如下：
options = optimset('gradobj','on','hessian','on');
x,y]=fminunc('fun3',rand(1,2),options)
即可求得函数的极小值。
求多元函数的极值也可以使用 matlab 的fminsearch 命令，其使用格式为：
x,fval,exitflag,output]＝fminsearch(fun,x0,options,p1,p2,..
例7 求函数解编写 f (x)的m 文件如下：
function f=fun4(x);
f=sin(x)+3;
编写主函数文件如下：
x0=2;x,y]=fminsearch(@fun4,x0)
即求得在初值2 附近的极小点及极小值。取最小值时的x值。
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扉页格式 科研训练。题目。二号 黑体 加黑 居中 作者姓名。专业。指导教师姓名。专业技术职务。中英文摘要及关键词格式 摘要。摘要 之间空两格，采用三号字 黑体 加黑 居中，与内容空一行 内容采用小四号仿宋体 关键词 小四号 黑体 加黑 顶格 内容采用小四号 仿宋体 接排 各关键词之间有2个空格 ke...
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