【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
—余数定理⑴
温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
了解余数定理，会用余数定理解题。
1. 掌握余数定理。
2. 掌握同余定理。
1. 1014除以一个两位数，余数是13。求出符合条件的所有的两位数。
2. 甲、乙两数的和是1086，甲数除以乙数商11余30，求甲、乙两数。
3. 在2004，2007，2009，2010，2012中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。这样的数组共有___组。
即是该课程的课后测试）
1. 用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和。
2. 除以一个两位数，余数是．求出符合条件的所有的两位数。
3. 甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数。
4. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
5. 有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？
1. 因为是的倍还多，得到，得，所以，
2. ，那么符合条件的所有的两位数有，因为“余数小于除数”,所以舍去，答案只有。
3. 因为甲乙，所以甲乙乙乙乙；
则乙，甲乙。
4. 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.
5. 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968
五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
—余数定理(2)
了解余数定理，会用余数定理解题。
1. 掌握余数定理。
2. 掌握同余定理。
1. 求478×296×351除以17的余数。
2. 著名的裴波那契数列是这样的…这串数列当中，第2008个数除以3所得的余数为多少？
3. 有一串数：1，1，2，3，5，8，…，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
4. 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
即是该课程的课后测试）
1. (2023年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是___
2. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
3. (2023年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是。
4. (2023年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是。
5. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
1. 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为，所以，被除数为。
2. 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到。
解方程组得，即这两个自然数分别是856，21.
3. 设所得的商为，除数为．，，由，可求得，．所以，这三个数分别是，，。
4设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，只有，，所以这个自然数为。
5. 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为。
五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
—余数定理(3)
了解余数定理，会用余数定理解题。
1. 掌握余数定理。
2. 掌握同余定理。
1. 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
2. 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
3. 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。
4. 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。求这个数是多少？
1. 有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数。
2. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。
3. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
4. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？(余数可以为0)
5. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
1. 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，的约数有，所以这个数可能为。
2. 答案：，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；
3. 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。
这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。
4. 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．
1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余o)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．
5. 设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则．
根据题意可知，所以，即，得．所以是9的倍数，是8的倍数．此时，由知．
由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54．
当时，，而，所以，故此时最大为；
当时，，由于，所以此时最小为．
所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．
五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
—余数定理(4)
了解余数定理，会用余数定理解题。
1. 掌握余数定理。
2. 掌握同余定理。
1. 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为___
2. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是___
3. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n＝__
即是该课程的课后测试）
1. 两位自然数与除以7都余1，并且，求．
2. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
3. 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是。
4. 与的和除以7的余数是___
5. 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？
1. 能被7整除，即能被7整除．所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，
2. 所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17
3. 因为，，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．，所以所求的最大整数是98.
4. 找规律．用7除2，，，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为，所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．
5. 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。
五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
—完全平方数⑴
认识完全平方数。
1. 认识完全平方数。
2. 完全平方数的性质。
3. 完全平方数的解题技巧。
1. 1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5这个算式的得数能否是某个数的平方？
2. 我们知道：121＝112，12321＝1112，1234321＝11112…都是完全平方数。
那么，121＋12321＋1234321＋…＋12345678987654321是不是完全平方数？
3. 判断下面哪个是完全平方数？
即是该课程的课后测试）
1. 简答题：什么是完全平方数？
2. 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
3. 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
4. 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
5. 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是___
1. 答案：把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
2. 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如：
1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和它自身)
五年级数学思维拓展
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五年级数学下册拓展思维题
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