——刘德荫（北京新东方学校）
2024年考研数学其中高等数学部分在全试卷中所占比例分析如下：
数学（一）、（三）、（四）客观性试题8个，满分32分，主观性试题5个，满分50分，一共82分，占54.7%，考纲规定约占56%。
数学（二），客观性试题11个，满分44分，主观性试题7个，满分72分，一共116分，占77.3%，考纲规定约占78%。
农学门类客观性试题8个，满分32分，主观性试题5个，满分52分，一共84分，占56%，考纲规定约占56%。
通过上述统计可知2024年考研数学高等数学在全卷中的比例符合考试大纲规定的比例。
2024年考研数学高等数学部分，在考查基本概念，基本方法和基本原理为主，例如数学（一）第（4）题，数学（二）第（5）题，考查单调有界数列收敛准则，数学（一）第（9）题，考查最简单的可分离变量的一阶微分方程，可以说是送分题。数学（一）第（10）题，数学（二）第（11）题，农学门类第（11）题，考查曲线在某定点的切线方程。在往年考研数学试题中很少见到的就是考高等数学教材中定理的证明，例如数学（一）第（18）（i）题数学（二）第（20）（i）题，有是题目是考查考生综合运用所学知识解决实际问题的能力，例如数学（三）第（19）题，总之08年考研高数试题难易适中，无偏题、怪题，完全符合考试大纲要求。
下面对具体考题作一些分析。
一、 数学（一）、（二）第（15）题。
略解：原式＝
点评：本小题主要考查，利用洛必达法则示“”型权限以及重要权限等知识。
类似题：《新东方考研数学高等数学讲义（强化班）》（以下简称《讲义》）p6第38题：
例38. 二、数学（三）、（四）第15题。
求极限。略解：
同理 所以
点评：与1相同。
类似题：《讲义》p10第73（2）题。
例73.设数列满足，.
1）证明存在，并求该极限。
2）计算。三、数学（一）第（2）题。
函数f(x, y)=arctam 在点（0,1）处的梯度等于（ ）
a） （b） （c） （d）
答案：a点评：根据梯度的定义很容易得gradf(0,1)=
类似题：《讲义》p67第13题。
例13.设是由方程确定的隐函数，求。
四、数学（一）（二）第（3）题。
在下列微分方程中，以y=c1ex+c2cos2x+c3sin2x(c1 ,c2 ,c3为任意常数)，为通解的是：
a） （b）
c） （d）
答案：d点评：由通解可知λ1＝1 λ2＝2i λ3＝-2i 微分方程对应的特征方程为（λ-1）（λ2i）（λ2i）=0，λ3-λ2+4λ-4＝0 对应微分方程为d。
类似题：《讲义》p50第35题。
例35.求一个微分方程，使其通解为（任意常数）
五、数学（一）第（4）题，数学（二）第（5）题。
设函数f(x)在（－∞内单调有界，为数列，下列命题正确的是：
a)若收敛，则收敛 （b）若单调，则收敛
c）若收敛，则收敛 （d）若单调，则收敛。
答案：b点评：例如f(x)= f(x)单调有界。
令xn=n f(n排除c,d.
又f(x)=arc tan f(x)单调有界。
令xn= 当n=2k时 f(xn)
当n=2k+1时 f(xn)
收敛发散排除a 故答案选b
类似题： 《讲义》p10 第73题。
例73.设数列满足，，计算。
六、数学（一） 第（10）题数学（二） 农学门类，第（11）题。
曲线sin(xy)+ln(y-x)=x 在点（0，1）处的切线方程是。
答案：y=x+1
点评：这是一道常规简单计算题。
类似题：《讲义》 p16 第32题。
32.设函数由方程所确定，则曲线在点处的切线方程为。
七、数学(一)第（12）题。
设曲面是z=的上侧，则___
答案：4点评：这是一道常规的第二型曲面积分计算题。
类似题：《讲义》p86第57题，第63题。
例57.设是曲面（≥0）的上侧计算：
例63.设是锥面（0≤≤1）的下侧，则。
八、数学（一）第（19）题。
将函数f(x)=1-x2(0≦x≦)展开成余弦级数，并求级数的和。
略解：an= (n=0,1,2,…)
bn=0 （1,2,,…
a0=an=
f(x)=
由于f(x)=1-x2在（）内连续。令x=0可得。
点评：会将定义在（0，l）上的函数展开为余弦级数，这是考纲中要求的，考生若记住傅立叶系数。本题是容易解决的，但是，傅立叶级数部分在2024年考过一道填空题后，有四年时间未考了，所以有的考生没有很好复习，因此感到困难，建议考生在复习数学时凡是考纲提到的知识点都应复习，不能遗漏。
类似题：《讲义》 p99 第36，37题。
例36. 将函数（≤≤2）展开成周期为4的余弦级数。
例37.证明：当0≤≤时，
九、数学（二）第6题，数学（三） 第4题。
设函数f连续，若f（u,v）=
其中区域duv为图中阴影部分，则=（）
a） vf(u2) (bc) vf(ud)
答案：a点评：将直坐标化为极坐标 f(u. v)=
类似题：《讲义》p39第127题。
127.设为连续函数，且，，则 .
十、数学（一） 第17题。
已知曲线c求c上距离xoy面最远的点和最近的点，略解：设空间一点m（x,y,z）与xoy面的距离为r=|z|，r2＝z2
目标函数f(x,y,z）=z2 约束条件x2+y2-2z2=0，x+y+3z-5=0
作拉格朗日函数。
f(x,解方程组，得曲线c上距xoy平面最远点m1（－5，－5，5），最近点m2（1，1，1）。
点评：本小题主要考查多元函数条件根值的求法。
类似题：《讲义》p71 第33，34题。
例33.求旋转抛物面到平面的最短距离。
例34.求函数在有界闭区域≤25上的最大值与最小值。
十。一、数学（二）第（18）题，数学（三）第（17）题。
其中d＝略解：d＝d1ud2ud3d1=
d2= d3=
max=点评：掌握二重积分的计算方法是考纲要求的重点内容之一，也是考试的热点。
类似题：《讲义》p75第6，7，10题。
例6.计算。
例7.计算，
例10.计算二重积分，其中。
十。二、数学（三）第（19）题。
设银行存款的年利率为r=0.05，并依年复利计算，某**会希望通过存款a万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问a至少应为多少万元？
略解：现存入a万元，r=0.05，第n年末本利和为a（1+r）n
设b=1+r
abn≥(10+9)bn-1+(10+2×9)bn-2…+(10+9(n-1))b+(10+9n)b0
a≥10当n→∞时 a≥
s1＝s2＝ （合。
b=1.05
万元）答：a至少应为3980万元。
点评：本小题考查考生应用无穷级数的知识解决经济应用中的实际问题，笔者认为此题有一定的难度，又不超纲，是08年考研高数试题中最精彩的题目。
十。三、数学（三）第（16）题，数学（四）第（18）题。
设z＝z(x,y)是由方程x2+y2-z= (x+y+z)所确定的函数，其中具有二阶导数，且。
ⅰ）求dzⅱ）记u(x,y)=求。
略解：（ⅰd（x2+y2-z）＝d (x+y+z)
解得 ⅱ） u(x,y)=
点评：本题主要考查多元复合函数的全微分和偏导数的求法，常规计算题。
类似题：《讲义》p68第20题。
例20.设，其中可微，则 .
十。四、数学（二）第20题。
ⅰ）证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点，使得。
ⅱ）若函数（x）具有二阶导数，且满足（2）＞（1），（2）＞
则至少存在一点，使得。
证（ⅰ）这是书上的定理，此处略去，见同济5版高等数学上册p232
ⅱ）已知（2）＞（1），（2）＞
由积分中值定理，？ 使得。
1）若为极大值，因具有二阶导数，所以。
泰勒公式在x与2之间。
故值得。2)若不是极大值，当》0时，则y（2+）为极大值。
1<2+ 当时，则为最大值》
1<2- 令为极大值此时（1t7）
由泰勒公式=+ 在之间。
证毕。点评：本小题主要考查利用定积分中值定理、泰勒定理，证明有关命题。
类似题：《讲义》p20第题。
52．设在内有，，，是内相异的三个点，求证：
53．若在上有三阶导数，且，设。试证：
在内至少存在一点，使得。
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