2003
五、（20分）系统的动态结构如图所示，试以u为输入，y为输出，x为状态变量列写系统的状态空间表达式：
六、（24分）已知某系统的传递函数如下，试分别给出满足以下条件的实现并分析实现的稳定性。
1．求既能控又能观的约当型实现，分析该实现的渐近稳定性；
2．求一个维数尽可能低的能控但不能观、李雅普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的实现，分析该实现的bibo稳定性；
3．求一个维数尽可能低的既不能控又不能观、且李雅普诺夫意义下不稳定的实现，分析该实现的bibo稳定性和渐近稳定性。
七、（16分）对单输入-单输出能控的线性定常系统。
1．证明：状态反馈不改变传递函数的零点；
2．问：如果系统不能控上述结论还正确吗？
五、（25分）已知单输入－单输出系统的传递函数为。
1.给出该传递函数的一个能控标准型实现；
2.研究系统的能控性、能观性、李雅普诺夫意义下的稳定性、渐近稳定性和bibo稳定性；
3.当系统bibo稳定时，对上述能控标准型实现进行能观性分解。
六、（15分）已知系统的动态方程为。
当系统的状态不可直接量测时，问能否通过构造状态观测器来获取状态变量？若可能，试设计一个极点均位于-2处的全维状态观测器；若不可能，请说明你的理由。
七、证明题（每小题10分，共20分）对线性定常的单输入－单输出系统。
1.若a非奇异，证明：系统在零初态条件下的单位阶跃响应是。
2.从能控性判据出发，证明：若系统能控，则对任意的实数λ，增广矩阵。一定满秩。
五、（20分）已知系统的动态方程为。
求初态为时，系统在单位阶跃输入作用下。
1．系统的状态响应表达式；
2．求系统输出范数最小的时刻t；
3．写出系统的传递函数。
六、（24分）已知系统的动态方程为。
1．判断系统的稳定性（渐近稳定、bibo稳定）；
2．若有可能，设计状态反馈，使系统的两个闭环极点均位于－2；
3．若有可能，设计极点位于-8处的最小维状态观测器；
4．（选做）用第3小题得到的观测状态来实现第2小题的状态反馈，写出复合系统的（增广的）状态空间方程。
七、（16分）对线性定常系统，试证明：
1．状态反馈不改变系统的能控性；
2．同一传递函数的两个最小实现一定是相互等价的（即它们可通过一个线性变换相互转化）。
七、计算与设计（25分）：已知系统的状态空间方程为。
1. 设初态为，求单位阶跃信号作用下，状态的表达式及输出的值；
2. 若有可能，设计状态反馈，使系统的闭环极点位于-2 j2；
3. 若有可能，设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点分别位于-3,-4处。
八、证明题（20分）：对线性定常系统，试证明：
1. 状态变换不改变系统的稳定性（提示：稳定性包括bibo稳定性、渐近稳定性、李雅普诺夫意义下的稳定性） ；
2. 对n维（）单输入-单输出系统，若，则状态空间方程一定不是其传递函数的最小实现。
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