第一讲。第一章函数、极限连续（予备知识）
重点：函数性质与函数的图形。
函数是微积分的研究对象，因此在课程的开始，——数学宝典(微积分)
第一讲。第一章函数、极限连续（予备知识）
重点：函数性质与函数的图形。
函数是微积分的研究对象，因此在课程的开始，要先对函数部分加以复习，要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握。极限是微积分的基础，故需要介绍一下，因为不考试，故不作复习重点，不作任何要求，也不做练习题。
一、函数。一）函数的概念。
1．函数的定义。
定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量和，若对非空集合中的每一点，都按照某一对应规则，有惟一确定的实数与之相对应，则称是的函数，记作。
称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，的取值范围即集合称为函数的值域。
平面上点的集合称为函数的图形。
定义域(或记)与对应法则是确定函数的两个要素。因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同。
2．函数的表示方法。
函数的表示方法一般有三种：解析法、**法、图示法。这三种表示方法各有其特点，**法和图示法直观，解析法便于运算，在实际中经常结合使用。
3．函数定义域的求法。
由解析式表示的函数，其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体，这种定义域称为自然定义域，自然定义域通常不写出，需要我们去求出，因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件。
二）函数的几何特性。
1．单调性。
1）【定义1.2】 设函数在实数集上有定义，对于内任意两点，当 ＜时，若总有≤成立，则称内单调递增（或单增）；若总有 ＜成立，则称在内严格单增，严格单增也是单增。当在内单调递增时，又称内的单调递增函数。
类似可以定义单调递减或严格单减。
单调递增或单调递减函数统称为单调函数。
2）可以用定义证明函数的单调性，对几个常用的基本初等函数，可以根据熟悉的几何图形，找出其单调区间。对一般的初等函数，我们将利用导数来求其单调区间。
2．有界性。
定义1.3】 设函数，若存在实数＞0,使得对任意，都有≤,则称在内有界，或称为内的有界函数。
定义1.4】 设函数，若对任意的实数＞0,总可以找到一，使得＞,则称在内无界，或称为内的无界函数。
有界函数的图形完全落在两条平行于轴的直线之间。
函数是否有界与定义域有关，如（0,+∞上无界，但在[1,e]上是有界的。
有界函数的界是不惟一的，即若对任意，都有≤,则也一定有≤.
3．奇偶性。
定义1.5】 设函数在一个关于原点对称的集合内有定义，若对任意，都有，则称为d内的奇（偶）函数。
奇函数的图形关于原点对称，当为连续的函数时，=0,即的图形过原点。偶函数的图形关于y轴对称。关于奇偶函数有如下的运算规律：
设为奇函数，为偶函数，则。
为奇函数；为偶函数；
非奇偶函数；
为奇函数；均为偶函数。
常数c是偶函数，因此，奇函数加非零常数后不再是奇函数了。
利用函数奇偶性可以简化定积分的计算。对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助。
例】 判断下列函数的奇偶性：
解】 (1)因为。
所以是奇函数。
2)因为。4．周期性。
定义1.6】 设函数，如果存在非零常数t,使得对任意，恒有成立，则称为周期函数。满足上式的最小正数t,称为的基本周期，简称周期。
我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少。是以1为周期的周期函数。与的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示。
图1-1三）初等函数。
1．基本初等函数。
1）常数函数 ,定义域为(-∞图形为平行于轴的直线。在轴上的截距为。
2）幂函数 ,其定义域随着的不同而变化。但不论取何值，总在（1,+∞内有定义，且图形过点（1,1）.当＞0时，函数图形过原点（图1-2）
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