零件的参数设计。
摘要。关键词。
一、 问题重述。
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。
若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,..x7）决定，经验公式为：
y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9,000元。
零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为ａ、ｂ三个等级，用与标定值的相对值表示，ａ等为1%，ｂ等为5%，ｃ等为10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：
现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.
1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.
1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。
请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？
二、 模型的假设。
1）各个零件的参数服从正态分布且相互独立；
2）各个零件参数的容差为均方差的３倍；
3）零件的成本只由选择的容差决定，产品的费用只由零件的参数和容差决定。
4）题目中所给的数据与现实相符，且经验公式有较高的精度，即不考虑经验公式的误差。
5）当产品参数时，产品无质量损失；当产品参数时，产品为次品，质量损失为1000元；当产品参数时，产品为废品，质量损失为9000元。
三、 符号说明。
四、 问题分析。
决定粒子分离器性能的某参数y由7个零件的参数决定，这些零件的参数包括标定值和容差两部分。在零件成批生产的过程中，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。零件的成本只由选择容差等级决定，容差设计得越小，成本越高。
零件参数标定值的选择和容差等级的设计会影响到产品参数偏离目标值y0的大小，偏离的越大，产品损失越大。所以，为使生产1000个产品的总费用达到最小，应统筹规划，选取最优的零件参数标定值和容差。
假设每个零件的参数都符合正态分布，经过适当的数学处理，可以使参数y也符合正态分布。根据经验公式，参数y的分布可由7个零件参数的分布求得，从而可以求出平均每个产品损失的期望。
现在如果把生产1000个产品的总费用设定为目标函数，则可通过确定每个产品的平均费用来求得目标函数的最优解。而生产每个产品的平均费用由两部分组成：每个零件的成本和参数偏离目标值y0所造成损失的期望。
根据题目中所给的条件，我们知道对于每个零件，不同的容差等级对应不同的零件成本，所以一共有种不同的容差设计组合，这108种容差组合对应了108种生产1000个产品的零件成本和产品损失的期望。可以先求出每种容差组合中7个零件标定值的最优解，再从108组最优解中选取总费用最低的解作为总体的最优解。
五、 模型的建立。
5.1 确定参数的统计特征。
首先，为了简化模型，我们需把题目中所给出的关于产品参数的经验公式进行线性化，将该公式在处进行泰勒展开，展开式如下：
又因为：所以可以略去佩亚诺余项，得：
整理得：记上式为：其中：
而由，且间相互独立；又由为的线性组合，所以也服从正态分布，设，则根据概率统计知识：
记的概率密度函数为，则：
这样就确定了参数的统计特征。
5.2 构建目标函数。
本问题是一个有约束条件的非线性规划问题。
我们已经知道有种可能的7个零件参数的容差等级组合的情况，如果求出这种7个零件参数的容差等级组合所对应的个总费用，比较这108个总费用的大小，取最小值，则对应的7个零件参数的标定值和容差组合即为题目所求。
取上面18种容差组合中的一种，设为第种组合，现讨论7个零件参数的容差等级在这种组合下，生产1000个产品的总费用。则：记：
其中：优化的关键在于，要使这种情况下的总费用取得最小，即使得平均每个产品的费用取得最小。
由此，可建立以下模型：
第种情况下，每件产品的成本为7个零件的成本之和，所以：
其中为第种情况下第个零件的成本，于是，我们求得了。
若记第种情况下，，且的概率密度为，则：
其中：上式中为第中情况下对的偏导。
又上式中为第中情况下，第个零件参数的标准差。根据题意，容差为均方差的3倍，所以：
其中，上式中的是指在第种情况下，第个零件选取容差等级为时，最大偏移量与标定值的相对值，题目中已给出：。
那么，第种情况下平均每个产品损失的期望为：
化简得：于是，我们求得了，进而我们求得了。
综上所述，在综合考虑偏离造成的损失和零件成本后，构建总费用的目标函数：
取遍的值，取的最小值以及此时对应的零件的参数的标定值和容差等级，问题就解决了。
六、 模型的求解。
对于原设计方案，我们求得的概率分布密度函数，从而求得原设计方案中每个零件损失的期望，结合原设计的容差等级组合，可以算得每个产品的成本，从而求得如下结果（如表一）：
表一 因为原方案中，的期望是1.7256，偏离1.5较大；而方差为0.
012，较小。所以大部分产品对应的集中在1.7256附近，这样次品率很大，显然会大大增加总费用。
原方案存在明显的缺陷。
针对我们建立的模型，对于每一种情况，用工具求解非线性规划的方法解出一组解，有108种情况，共有108组解，再在这108组解中给出总费用最小的解即为最优解。
在用工具中命令的时候容易给出局部最优解，这与初始值的给定有关。为了尽可能的给出全局最优解，可取不同的初始值解出不同的局部最优解，再取目标最小的解为最优解。
结果如下（如表二，表三）：
表二。表三。
新的参数设计比原设计的费用降低了265.4842万元。
七、 模型的检验和误差分析。
7.1 用正态分布近似产品参数y分布的可靠性检验。
在模型的建立中，我们把产品参数的经验公式作了线性化处理，用正态分布近似参数的分布，下面验证其可靠性。
一方面，对于蒙特卡洛随机数法得到的的分布：根据假设——各个零件的参数服从正态分布且相互独立，取表三7个零件的标定值和容差等级，运用蒙特卡洛随机数法，可随机产生1000组零件参数的数据，由此可计算出1000个产品的参数的模拟值，统计直方图如图一所示：
图一。由图形初步判断数据服从正态分布。利用统计绘图函数进行正态分布检验，如图二：
图二。上图说明参数近似服从正态分布。
用中的函数对参数是否服从正态分布做灵敏度为0.01的检测，返回值，故参数确实服从正态分布。
最后对参数进行参数估计：利用软件里的命令估计出参数的均值为1.4999，标准差为0.
0663，均值的置信度为0.95的置信区间为，标准差的置信度为0.95的置信区间为。
所以，运用蒙特卡洛随机数法得到的参数服从正态分布。
另一方面，对于线性化时得到的参数的正态分布：其均值为1.4968，标准差为0.
0688，它的结果和蒙特卡洛随机数法得到的参数的均值和方差基本接近。所以假设参数服从正态分布是可靠的。
7.2对最优解的检验。
用我们建立的模型计算出来的最优解的总费用实际上是一个期望值，实际成批生产每1000个产品时的损失费都会不同。现在用蒙特卡洛随机数法，在最优解情况下，得到20个成批生产1000个产品的损失费，如表四所示：
表四。单位：万元。
这20个数据的平均值为42.2150万元，与模型求出来的42.2073万元相差不到0.02%，所以模型较好。
7.3 误差分析。
1）由于对产品参数的经验函数进行了线性化近似处理，才使它服从正态分布，但是我们略去了余项，这里引起了一定的误差。
2）计算机实现模拟的时候，不可避免的引起了一些误差。尤其在运用软件中的命令时，随着选取初始点的改变，最优解会有所不同，只能做到局部最优，不能解出参数在其可行域的最优解，这里引起了一定误差。此误差可以通过多次选取不同的初始点，求取最优解之后，选取其中的最优的一组解来减小误差。
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