1．已知全集，集合，则（ ）b
a． b. c. d.
本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题。
2．设， ，其中是虚数单位，若复数是纯虚数，则有（ ）d
a． b． cd．
本题考查复数的四则运算和纯虚数的概念，属容易题。
3．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是( )c
a． b． c． d．
本题考查圆的标准方程，直线的位置关系，求直线方程的方法等，属容易题。
4．已知中，分别是角的对边，，那么等于（）b
a． b． c．或 d．
本题考查正弦定理和大边对大角定理，属于容易题。
5．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径。
为的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）
ca． b．
c． d．
解析：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，∴选c．
本题考查简单几何体的三视图和球的面积计算，属中等题。
6．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）b
abcd．
本题考查等差数列的简单性质、诱导公式和正切函数值的。
计算，属中等题。
7．对任意非零实数，定义一种运算：，其结果的值由右图确定，则( )a
ab． cd．
本题考查分段函数、程序框图的基础知识和简单的。
指数、对数运算，属中等题。
8． 下列命题中的假命题是（ ）d
ab．“”是“”的充分不必要条件。
cd．若为假命题，则、均为假命题。
本题考查逻辑语言，指数函数、幂函数的值域，充要条件的判断及复合命题真假性的判断。属于中等题。
9．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数是d
a． b．
c． d．
本小题主要考查基本函数及其复合函数的奇偶性与单调性，考查函数基本性质的应用．属中等题。解答：d
10．已知函数满足且当时，，则。
的图象的交点个数为（ ）d
a．3 b．4 c．5 d．6
本题考查函数的周期性和函数图象，数形结合的数学思想，属中等题。
11．已知平面向量，，若，则实数等于
本题考查向量的数量积运算与向量垂直的条件，属容易题。
12．某射击运动员在四次射击中分别打出了环的成绩，已知这组数据的平均值是9，则这组数据的方差是 1 ．
12．已知满足约束条件，则的最小值为3
本题考查简单的线性规划问题，属容易题。
13．如果实数满足，对任意的正数，不等式恒成立，则的取值范围是。
14．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆的极坐标方程是，则它的圆心到直线：（为参数）的距离等于。
考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式。属于中等题。
15．如图，⊙的半径，是弦延长线上的一点，过点。
作⊙的切线，切点为，若，则圆心到弦。
的距离是。解：由切割线定理得，从而，
则圆心到弦的距离是。
考查圆的切割线定理与垂径定理，属于中等题。
16． 已知函数，.
1）若，求函数的值；
2）求函数的最小值并求相应的的值。
16. 解：（1）∵，6分
∵， 当，即时，取得最小值12分。
17．调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15。
ⅰ）求的值；
ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？
ⅲ）已知，，肥胖学生中男生不少于女生的概率。
解：（ⅰ由题意可知，，∴150（人4分。
ⅱ）由题意可知，肥胖学生人数为（人）。设应在肥胖学生中抽取人，则。
人）答：应在肥胖学生中抽20名8分。
ⅲ）由题意可知，，且，，满足条件的（，）有（193，207），（194，206），…207，193），共有21组。
设事件a：“肥胖学生中男生不少于女生”，即，满足条件的（，）有（193，207），（194，206），…200，200），共有8组，所以。
答：肥胖学生中女生少于男生的概率为12分。
18．如图，长方体中，, 是的中点。
ⅰ)求证：直线平面；
ⅱ)求证：平面平面；
ⅲ)求三棱锥的体积。
ⅰ)证明：在长方体中，又 ∵ 平面，平面。
直线平面4分。
ⅱ)证明：在长方形中，∵,故6分。
在长方形中有平面，平面，7分。
又∵,直线平面8分。
而平面，所以平面平面10分。
………14分。
19．已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；
ⅲ）当时，圆：被直线截得弦长为，求实数的值。
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、**能力和推理能力。第（ⅱ）改编自人教社选修2-1教材p39例3.
解：（ⅰ双曲线的左右焦点为。
即的坐标分别为1分。
所以设椭圆的标准方程为，则，……2分。
且，所以，从而4分。
所以椭圆的标准方程为5分。
ⅱ)设则，即6分。
8分。所以的值与点的位置无关，恒为9分。
ⅲ）由圆：得，其圆心为，半径为10分。
由（ⅱ）知当时，故直线的方程为即11分。
所以圆心为到直线的距离为，又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得。
圆心到直线的距离，所以， 即，解得或。
13分。所以实数的值为或14分。
20．已知数列前项和。数列满足，数列满足。
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）由已知和得，当时，……2分。
又，符合上式。故数列的通项公式。……3分。
又∵，∴故数列的通项公式为5分。
①-②得 10分。
当时，；当时，，∴
若对一切正整数恒成立，则即可，∴，即或14分。
21． 已知函数．
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．
解：（ι由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数是常数函数，无单调区间4分。
由，6分。故， 函数在区间上总存在极值， 函数在区间上总存在零点7分。
又∵函数是开口向上的二次函数，且。
8分。由，令，则，所以在上单调递减，所以；
由，解得；综上得。
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值9分。
令，则。当时，由得，从而，所以，在上不存在使得11分。
当时，在上恒成立，故在上单调递增。
13分。故只要，解得。
综上所述，的取值范围是14分。
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