摘要。关键字：引言。
题目背景。近年来，电烤箱普遍采用远红外加热技术，使电烤箱的技术含量增加，耗能降低，深受广大用户的欢迎。利用红外线加热物体，就是利用辐射波长与物体接收波长一致时，物体吸收大量的红外能，从而加剧物体内部的分子运动，使之加热升温。
加热时间短，能耗低，使用方便。
但是，当我们使用矩形烤盘烘烤食物时，热传导方程，加上一些边界条件，导致方形烤盘热量集中在的四个角上，因此四个角上的物体会因过度受热（以及在较小程度的边缘处）而变焦。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热。然而，由于大多数的烤箱都是矩形的，所以用圆形的烤盘就不能较好的利用烤箱的空间。
给烘烤食物的朋友带来了很大的不便。为什么角部的食物肉容易烤焦，以及选择哪种形状的烤盘，，这是令人很费解的问题。
电烤箱工作原理。
电烤箱利用电热元件所发出的辐射热来烘烤食品，利用它我们可以制作烤鸡、烤鸭、烘烤面包、糕点等。根据烘烤食品的不同需要，电烤箱的温度一般可在50-250℃范围内调节。
电烤箱主要由箱体、电热元件、调温器、定时器和功率调节开关等构成。其箱体主要由外壳、中隔层、内胆组成三层结构，在内胆的前后边上形成卷边，以隔断腔体空气；在外层腔体中充填绝缘的膨胀珍珠岩制品，使外壳温度大大减低；同时在门的下面安装弹簧结构，使门始终压紧在门框上，使之有较好的密封性。 电烤箱的加热方式可分为面火（上加热器加热）、底火（下加热器加热）和上下同时加热三种。
电烤箱技术参数。
温度范围室温-200℃（300℃）
温度稳定度±0.5℃
温度分布均匀度±2℃（特佳）
排气烟道叶片式设计可调出风量。
符号和定义。
l： 多边形边长
l: 多边形周长。
k: 周长与面积的比。
g： 单位圆的周长。
c: 单位椭圆周长。
a: 椭圆的长半轴。
b: 椭圆的短半轴。
假设。1、烤箱内温度同一层表分布均匀且稳定。
2、烤箱内风扇使空气及时流通。
3、假设烤盘之间相互不影响。
4、假设各层之间相互不影响。
5、假设烤盘的深度影响忽略不计。
6、假设烤箱内垂直分布的热辐射场为递增。
针对问题1问题1的说明。
针对问题1，考虑同一层烤架上温度稳定且分布均匀，我们提出了两个模型。从两个方面验证了烤盘拐角处食物易焦的原理，并画出了不同形状的烤盘外边缘热量分布图。
模型的提出。
为了更好的说明为什么角部的食物容易烤焦，我们建立了（从长方形到圆形）图形边数与顶角热量聚集程度之间关系的数学模型。首先，假设各个图形面积都相同，且为单位1；为通过对比从长方形到圆形边角角度的变化，来引出热量在顶角处聚集程度的变化，最后通过烤盘外边缘处热量的分布，说明了在烤盘角部的食物容易烤糊的原理。
此外，考虑到方形烤盘容易使食物变焦，而圆形烤盘不易使之变焦，会想到食物与空气的接触面积和周长有关。我们证明了相同底面截面积条件下，长方形的周长比正方形、圆及其他多边形周长大的事实。因此，我们提出了矩形烤盘四角中食物变焦原因是周长和面积的比值太大的理论模型。
若使食物不易变焦，就要想办法使之与空气的接触面积减小，即减小横截面的周长。这从另一个方面说明了此现象出现的原因。
模型的建立与求解。
当我们用矩形烤盘烘烤食物时，由于热量集中在烤盘的四个角上，因此四个角上的物体会因过度受热（以及在较小程度的边缘处）而变焦。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热。然而，由于大多数的烤箱都是矩形的，所以用圆形的烤盘就不能较好的利用烤箱的空间。
给烘烤食物的朋友带来很大的不便。因此建立了一个定面积求周长的模型来分析热量在圆形和矩形及它们之间的其它形状的烤盘外边缘的分布。
由于食物接收到的热量与食物和空气接触的面积有关，比较小的部位和边缘易烤焦，现在建立的模型，使烤盘的周长l与面积s的比最小，说明食物接收的热量较均匀。考虑到烤盘的形状较多为规则多边形、椭圆，对单位面积的烤盘形状对热量的影响讨论如下：
1、单位面积的正多边形：
设多边形边长为l,共有n条边，将正对变形分成n个等腰三角形。
有(1)(2)式可得每个三角形的面积为：
其中单位面积求多边形周长的公式为：
可得计算边长与面积比的关系式：
2、单位面积的圆：
对单位面积的各多边形烤盘求（从四边形到圆之间的正多边形）的周长与面积比的matlab程序作图如下：
图1：各多边形的周长图2：各多边形及圆周长与面积的比值。
周长与面积的比值。
结果分析：当多边形的边长越多时，周长无限接近于圆。即相同面积的烤盘，圆形时周长最短。周长与面积比最小，烤盘上的热量越均匀，实物越不易烤焦。
3、单位面积的椭圆：
已知椭圆周长和面积的计算公式：
单位面积椭圆周长的计算公式：
将、式代人式求偏倒并令之等于零得：
由于显然不符合逻辑。所以当时，椭圆演变为圆，此时仍可说明圆是使食物不易被烤焦的最佳选择，但考虑到圆形烤盘和椭圆烤盘在一般矩形烤架内空间利用率不大，所以我们想到了圆角矩形。
4、圆角矩形：
考虑到矩形在烤箱中的利用率比圆形高，但由于其形状的原因对食物的烘烤出的质量的影响我们可以考虑结合矩形与圆的优缺，避免各子的缺点，可已将二者结合将矩形的四角变化成1/4圆弧从而可以很好的利用二者各自的优点，从而达到最优。
模型的提出。
在模型中，说明了食物在烤盘角处变焦的原因，但从本质上讲，食物通过烤箱加热管释放的辐射能加热，再通过热传导使整个食物变熟。因此食物在烤箱中接收辐射热的多少决定了食物的成熟度。因此，研究烤盘周边的热量分布成为了必要。
我们采用无约束优化模拟烤盘内热量的分布。
模型的建立与求解。
圆。我们采用了两种优化方法来模拟烤盘内热量的分布：最速下降法和牛顿法。
最速下降法又称为梯度法，它是以负梯度方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是相互直交的寻找目标函数法 。牛顿法利用目标函数在迭代点处的taylor展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极小点序列去逼近目标函数的极小点。
设无约束目标函数为周长与面积的比值。
其中，一阶连续可微。基本思想是从当前出发，取函数在点处下降最快的方向作为我们的搜索方向。由的taylor展开式知。
略去t的高阶无穷小项目不计，可见取时，函数值下降的最多。于是，我们建立了最速下降法和牛顿法的模型来模拟矩形烤盘。
结果与分析：
maylab试验程序运行结果如图3：
图3 烤盘温度场的分布
由图3知，边角的食物在加热过程中会接收较多的辐射热，因此从食物接收热量多少的本质上揭示了边角食物易焦的原因。
模型的优缺点：
当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这是科学的遗憾之一，也是模型一的缺点之一。
对问题2的说明。
广告表。优缺点。
人教版圆的面积。
圆的面积教学课件。pdf
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