2019赛题

a题 u型溜冰台优化设计。

如今u型极限溜冰运动受到许多青少年的喜爱。对于一个有充分技巧的溜冰选手来说，他们会在溜空（在空中飞跃的时间）时作出各种极具观赏性的高难动作（如翻腾、旋转等）。一些技艺高超的选手会尽量增加溜空时间，以便完成一些高难动作，但溜空时间的长短与u型溜冰台的几何尺寸密切相关。

一般的u型台包括底部平台、弧形过渡区且左右对称，顶部平台与弧形过渡区通常有10cm的垂直连接区（见图1）。

图1 u型溜冰台几何图。

一个好的u型台应该能够让选手获得更多的溜空时间，下面考虑一个顶部左右平台相距18米，u型台净深4米的溜冰台，请你完成如下几项任务。

1）不考虑摩擦阻力，最优秀的选手能够溜空多高（指从平台顶部到空中最高点的高度）？

2）如果过渡区是圆弧段，如何设计u型台才能使选手溜空达到最高（摩擦系数为0.1）？

3）在（2）条件下，如果计算选手前3次腾空高度，问最大腾空高度为多少（假设初速度为0）？

4）如果过渡区是椭圆弧段，如何设计u型台才能使选手溜空达到最高（摩擦系数为0.1）？

b题所得税缴费点选址问题。

所得税管理部门计划对某个区域中的缴费点进行重新设计。该区域原来有4各缴费点，分别位于图1的2,6,13,15位置。图1是该区域的一个实际简化，其中连接线表示有道路相通，连接线上数字表示两地距离（单位百米），圆圈内数字是位置序号。

各点代表的居民数见表1。

表1各点居民数（单位千人）

请你解决如下问题：

（1）给出合理选址的标准。

2）根据你的标准，分析原来的选址是否合理？

3）如果考虑迁移1个缴费点，应该迁移那个缴费点，迁到那里？

4）如果在原方案中增加一个新的缴费点，该点最好设在那里？