一、球的截面。
例1 球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．
二、球面距离。
例2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）
a．有且只有一个 b．一个或无穷多个 c．无数个 d．以上均不正确。
分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选b．
例3 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，求这个球的半径．
分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．
设球的半径为，小圆的半径为，则，∴．
如图所示，设三点、、，为球心，．又∵，∴是等边三角形，同样，、都是等边三角形，得为等边三角形，边长等于球半径．为的外接圆半径，，．
例4 、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？
分析：、是球面上两点，球面距离为，转化为球心角，从而，由关系式，越小，越大，是过、的球的截面圆的半径，所以为圆的直径，最小．
解：∵球面上、两点的球面的距离为． ∴
当成为圆的直径时，取最小值，此时，取最大值， 即球心与过、的截面圆距离最大值为．
说明：利用关系式不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径与球心到截面的距离之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角有关，而球心角又直接与长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索．
三、其它问题。
例5．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
解：以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
四、球与几何体的切、接问题。
例6 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．
解：如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高，则以为底面直径的圆锥容积为，球取出后水面下降到，水体积为．
又，则， 解得．
例7．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
解：如图，正四面体的中心为，的中心为，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．
设，正四面体的一个面的面积为．
依题意得， 又。
即．所以．．
说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．
例8．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．
高考球例题复习精讲
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