中考总复习：函数综合—知识讲解（提高）
考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识。
平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等。
2．函数的有关概念。
求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．
3．函数的图象和性质。
常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．
4．函数的解析式。
求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．
一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．
知识网络】考点梳理】
考点。一、平面直角坐标系。
1．相关概念。
（1）平面直角坐标系。
（2）象限。
（3）点的坐标。
2.各象限内点的坐标的符号特征。
3.特殊位置点的坐标。
（1）坐标轴上的点。
（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标。
（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标。
（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标。
4.距离。1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离。
2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离。
3）平面上任意两点间的距离。
5.坐标方法的简单应用。
1）利用坐标表示地理位置。
2）利用坐标表示平移。
要点诠释：点p(x,y)到坐标轴及原点的距离：
1）点p(x,y)到x轴的距离等于；
2）点p(x,y)到y轴的距离等于；
3）点p(x,y)到原点的距离等于。
考点。二、函数及其图象。
1.变量与常量。
2.函数的概念。
3.函数的自变量的取值范围。
4.函数值。
5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）
6.函数图象。
要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：
1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点。三、一次函数。
1.正比例函数的意义
2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质。
4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系。
5.利用一次函数解决实际问题。
要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法。
考点。四、反比例函数。
1.反比例函数的概念。
2.反比例函数的图象及性质。
3.利用反比例函数解决实际问题。
要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线pm，pn，垂足为m、n，则所得的矩形pmon的面积s=pmpn=.
考点。五、二次函数。
1.二次函数的概念。
2.二次函数的图象及性质。
3.二次函数与一元二次方程的关系。
4.利用二次函数解决实际问题。
要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点a坐标为（x1，y1），点b坐标为（x2，y2），则ab间的距离，即线段ab的长度为。
2、函数平移规律：左加右减、上加下减。
3、二次函数的最值。
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.
4、抛物线的对称变换。
关于轴对称。
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是。
关于轴对称。
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是。
关于原点对称。
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是。
关于顶点对称。
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是。
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
考点。六、函数的应用。
1.一次函数的实际应用。
2. 反比例函数的实际应用。
3. 二次函数的实际应用。
要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
典型例题】类型。
一、用函数的概念与性质解题
1．在平面直角坐标系中，点a的坐标是（4，0），点p是第一象限内的直线y=6－x上的点，o是坐标原点（如图所示）：
（1）p点坐标设为(x, y) ，写出δopa的面积s的关系式；
（2）s与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围；
（3）s与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围；
（4）如果把x看作s的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围；
（5）当s=10时，求p的坐标；
（6）在直线y=6－x上，求一点p，使δpoa是以oa为底的等腰三角形。
思路点拨】本例的第（1）问是“sδopa”与“y”的对应关系，呈现正比例函数关系，y是自变量；第（3）问是“s”与“x”的对应关系，呈现一次函数关系，x是自变量；第（4）问是“x”与“s”的对应关系，呈现一次函数关系，s是自变量，不要被是什么字母所迷惑，而是要从“对应关系”这个本质去考虑，分清哪个是函数，哪个是自变量。
答案与解析】
解：（1）过p点作x轴的垂线，交于q，
sδopa=|oa|·|pq|=×4×y=2y.
（2）s与y成正比例函数，即s=2y，
自变量y的取值范围是0＜y＜6.
3）∵ y=6-x, ∴s=2y=2(6-x)=12-2x,
∴ s=-2x+12成为一次函数关系，自变量x的取值范围是0＜x＜6.
（4）∵把x看作s的函数，
∴ 将s=-2x+12变形为：x=,即这个函数的解析式为：x=-+6.
自变量s的取值范围是：0＜s＜12.
（5）当s=10时，代入（3）、（4）得：x=-+6=-+6=1, s=2y, 10=2y, ∴y=5,
∴ p点的坐标为（1，5）.
（6）以oa为底的等腰δopa中，
∵ oa=4， ∴oa的中点为2，∴x=2,
∵ y=6-x, ∴y=4. 即p点坐标为（2，4）.
总结升华】数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，是一种特殊的对应关系。 函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量。比如“把x看作s的函数”时，对应关系为用s表示x,其中s是自变量，x是函数。
举一反三：高清课程名称：函数综合2 高清id号：369112 关联的位置名称（**点名称）：经典例题1】
变式】已知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数。
1）求k的值；
2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿。
x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两公共点时，b的取值范围。
答案】解：（1）由题意得，≥0 ．
为正整数，1，2，3．
2） 当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为，把它的。
图象向下平移8个单位得到的图象的解析式。
为． 3）设二次函数的图象与轴交于。
两点，则。依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过a点时，可得；
当直线经过b点时，可得．
由图象可知，符合题意的b的取值范围。
为． 2．如图，在矩形abcd中，ab=3，bc=4，点p在bc边上运动，连结dp，过点a作ae⊥dp，垂足为e，设dp=x，ae=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )
(abcd)
思路点拨】本题应利用△apd的面积的不同表示方法求得y与x的函数关系；或由△ade∽△dpc得到 y与x的函数关系．
答案】c ；
解析】这是一个动点问题。很容易由△ade∽△dpc得到，从而得出表达式；
也可连结pa，由得到表达式，排除(a)、(b).
因为点p在bc边上运动，当点p与点c重合时，dp与边dc重合，此时dp最短，x=3；
当点p与点b重合时，dp与对角线bd重合，此时dp最长，x=5，即x的临界值是3和5.
中考总复习 函数综合 知识讲解 提高
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