中考总复习 函数综合 知识讲解 提高

发布 2021-05-15 02:13:28 阅读 6877

中考总复习:函数综合—知识讲解(提高)

考纲要求】1.平面直角坐标系的有关知识。

平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征,求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标,求线段的长度,几何图形的面积,求某些点的坐标等。

2.函数的有关概念。

求函数自变量的取值范围,求函数值、函数的图象、函数的表示方法.

3.函数的图象和性质。

常见的题目是确定图象的位置,利用函数的图象确定某些字母的取值,利用函数的性质解决某些问题.利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势,又能反过来判定函数图象的位置.

4.函数的解析式。

求函数的解析式,求抛物线的顶点坐标、对称轴方程,利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值.

一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题.

知识网络】考点梳理】

考点。一、平面直角坐标系。

1.相关概念。

(1)平面直角坐标系。

(2)象限。

(3)点的坐标。

2.各象限内点的坐标的符号特征。

3.特殊位置点的坐标。

(1)坐标轴上的点。

(2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标。

(3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标。

(4)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标。

4.距离。1)平面上一点到x轴、y轴、原点的距离。

2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离。

3)平面上任意两点间的距离。

5.坐标方法的简单应用。

1)利用坐标表示地理位置。

2)利用坐标表示平移。

要点诠释:点p(x,y)到坐标轴及原点的距离:

1)点p(x,y)到x轴的距离等于;

2)点p(x,y)到y轴的距离等于;

3)点p(x,y)到原点的距离等于。

考点。二、函数及其图象。

1.变量与常量。

2.函数的概念。

3.函数的自变量的取值范围。

4.函数值。

5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法)

6.函数图象。

要点诠释:由函数解析式画其图像的一般步骤:

1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;

2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;

3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点。三、一次函数。

1.正比例函数的意义

2.一次函数的意义

3.正比例函数与一次函数的性质。

4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系。

5.利用一次函数解决实际问题。

要点诠释:确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k;确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法。

考点。四、反比例函数。

1.反比例函数的概念。

2.反比例函数的图象及性质。

3.利用反比例函数解决实际问题。

要点诠释:反比例函数中反比例系数的几何意义,如下图,过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线pm,pn,垂足为m、n,则所得的矩形pmon的面积s=pmpn=.

考点。五、二次函数。

1.二次函数的概念。

2.二次函数的图象及性质。

3.二次函数与一元二次方程的关系。

4.利用二次函数解决实际问题。

要点诠释:1、两点间距离公式(当遇到没有思路的问题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)

如图:点a坐标为(x1,y1),点b坐标为(x2,y2),则ab间的距离,即线段ab的长度为。

2、函数平移规律:左加右减、上加下减。

3、二次函数的最值。

如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,.

如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,.

4、抛物线的对称变换。

关于轴对称。

关于轴对称后,得到的解析式是;

关于轴对称后,得到的解析式是。

关于轴对称。

关于轴对称后,得到的解析式是;

关于轴对称后,得到的解析式是。

关于原点对称。

关于原点对称后,得到的解析式是;

关于原点对称后,得到的解析式是。

关于顶点对称。

关于顶点对称后,得到的解析式是;

关于顶点对称后,得到的解析式是.

关于点对称

关于点对称后,得到的解析式是。

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称图象的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

考点。六、函数的应用。

1.一次函数的实际应用。

2. 反比例函数的实际应用。

3. 二次函数的实际应用。

要点诠释:分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式(或图象)也不同的函数,分段函数的应用题多设计成两种情况以上,解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,因此,分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

典型例题】类型。

一、用函数的概念与性质解题

1.在平面直角坐标系中,点a的坐标是(4,0),点p是第一象限内的直线y=6-x上的点,o是坐标原点(如图所示):

(1)p点坐标设为(x, y) ,写出δopa的面积s的关系式;

(2)s与y具有怎样的函数关系,写出这函数中自变量y的取值范围;

(3)s与x具有怎样的函数关系?写出自变量x的取值范围;

(4)如果把x看作s的函数时,求这个函数解析式,并写出这函数中自变量取值范围;

(5)当s=10时,求p的坐标;

(6)在直线y=6-x上,求一点p,使δpoa是以oa为底的等腰三角形。

思路点拨】本例的第(1)问是“sδopa”与“y”的对应关系,呈现正比例函数关系,y是自变量;第(3)问是“s”与“x”的对应关系,呈现一次函数关系,x是自变量;第(4)问是“x”与“s”的对应关系,呈现一次函数关系,s是自变量,不要被是什么字母所迷惑,而是要从“对应关系”这个本质去考虑,分清哪个是函数,哪个是自变量。

答案与解析】

解:(1)过p点作x轴的垂线,交于q,

sδopa=|oa|·|pq|=×4×y=2y.

(2)s与y成正比例函数,即s=2y,

自变量y的取值范围是0<y<6.

3)∵ y=6-x, ∴s=2y=2(6-x)=12-2x,

∴ s=-2x+12成为一次函数关系,自变量x的取值范围是0<x<6.

(4)∵把x看作s的函数,

∴ 将s=-2x+12变形为:x=,即这个函数的解析式为:x=-+6.

自变量s的取值范围是:0<s<12.

(5)当s=10时,代入(3)、(4)得:x=-+6=-+6=1, s=2y, 10=2y, ∴y=5,

∴ p点的坐标为(1,5).

(6)以oa为底的等腰δopa中,

∵ oa=4, ∴oa的中点为2,∴x=2,

∵ y=6-x, ∴y=4. 即p点坐标为(2,4).

总结升华】数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念,函数的本质就是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,是一种特殊的对应关系。 函数的概念中,有两个变量,要分清对应关系,哪一个字母是函数,哪一个是自变量。比如“把x看作s的函数”时,对应关系为用s表示x,其中s是自变量,x是函数。

举一反三:高清课程名称:函数综合2 高清id号:369112 关联的位置名称(**点名称):经典例题1】

变式】已知关于x的一元二次方程有实数根,k为正整数。

1)求k的值;

2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;

3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿。

x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线与此图象有两公共点时,b的取值范围。

答案】解:(1)由题意得,≥0 .

为正整数,1,2,3.

2) 当时,方程有一个根为零;

当时,方程无整数根;

当时,方程有两个非零的整数根.

综上所述,和不合题意,舍去;符合题意.

当时,二次函数为,把它的。

图象向下平移8个单位得到的图象的解析式。

为. 3)设二次函数的图象与轴交于。

两点,则。依题意翻折后的图象如图所示.

当直线经过a点时,可得;

当直线经过b点时,可得.

由图象可知,符合题意的b的取值范围。

为. 2.如图,在矩形abcd中,ab=3,bc=4,点p在bc边上运动,连结dp,过点a作ae⊥dp,垂足为e,设dp=x,ae=y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )

(abcd)

思路点拨】本题应利用△apd的面积的不同表示方法求得y与x的函数关系;或由△ade∽△dpc得到 y与x的函数关系.

答案】c ;

解析】这是一个动点问题。很容易由△ade∽△dpc得到,从而得出表达式;

也可连结pa,由得到表达式,排除(a)、(b).

因为点p在bc边上运动,当点p与点c重合时,dp与边dc重合,此时dp最短,x=3;

当点p与点b重合时,dp与对角线bd重合,此时dp最长,x=5,即x的临界值是3和5.

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