中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）
考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识。
平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；
2．函数的有关概念。
求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；
3．函数的图象和性质。
常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；
4．函数的解析式。
求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．
一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．
知识网络】考点梳理】
考点。一、平面直角坐标系。
1．相关概念。
（1）平面直角坐标系。
（2）象限。
（3）点的坐标。
2.各象限内点的坐标的符号特征。
3.特殊位置点的坐标。
（1）坐标轴上的点。
（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标。
（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标。
（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标。
4.距离。1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离。
2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离。
3）平面上任意两点间的距离。
5.坐标方法的简单应用。
1）利用坐标表示地理位置。
2）利用坐标表示平移。
要点诠释：点p(x,y)到坐标轴及原点的距离：
1）点p(x,y)到x轴的距离等于；
2）点p(x,y)到y轴的距离等于；
3）点p(x,y)到原点的距离等于。
考点。二、函数及其图象。
1.变量与常量。
2.函数的概念。
3.函数的自变量的取值范围。
4.函数值。
5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）
6.函数图象。
要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：
1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点。三、一次函数。
1.正比例函数的意义
2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质。
4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系。
5.利用一次函数解决实际问题。
要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法。
考点。四、反比例函数。
1.反比例函数的概念。
2.反比例函数的图象及性质。
3.利用反比例函数解决实际问题。
要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线pm，pn，垂足为m、n，则所得的矩形pmon的面积s=pmpn=.
考点。五、二次函数。
1.二次函数的概念。
2.二次函数的图象及性质。
3.二次函数与一元二次方程的关系。
4.利用二次函数解决实际问题。
要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点a坐标为（x1，y1），点b坐标为（x2，y2），则ab间的距离，即线段ab的长度为。
2、函数平移规律：左加右减、上加下减。
考点。六、函数的应用。
1.一次函数的实际应用。
2. 反比例函数的实际应用。
3. 二次函数的实际应用。
要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
典型例题】类型。
一、用函数的概念与性质解题
1． 已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得：
（1）y随x的增大而增大；
（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
（3）函数的图象过第。
一、二、四象限。
思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大；
2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第。
一、二、四象限。
答案与解析】
解：a、b的取值范围应分别满足：
（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：
当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0,
∴, 且b取任何实数。
（2）函数图象与y轴的交点为（0,1-b），
∵ 交点在x轴的下方，
∴ ，即a≠, b＞1.
（3）函数图象过第。
一、二、四象限，则必须满足 .
总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k＞0时，y随x的增大而增大；当b＞0时，图象过。
一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b＜0时，图象过。
一、三、四象限；当y=x时，图象过。
一、三象限，且是它的角平分线。由于常数k、b不同，可得到不同的函数，k决定直线与x轴夹角的大小，b 决定直线与y轴交点的位置，由k定向，由b定点。同样，如图2，是k＜0的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质。
举一反三：变式】作出函数y=x,，的图象，它们是不是同一个函数？
答案】 函数的自变量x的取值范围是x≥0；函数在x≠0时，就是函数y=x；而x=0不在函数的自变量x的取值范围之内。
由此，作图如下：
可见它们不是同一个函数。
类型。二、函数图象及性质。
2．已知：(1)m为何值时，它是一次函数。
(2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y是随x的增大而增大还是减小？
(3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积。
思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.
答案与解析】
1)依题意：，解得m=1或m=4.
∴当m=1或m=4时，它是一次函数。
(2)当m=4时，函数为y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限，y随x的增大而增大。
当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y随x的增大而减小。
3)直线y=-x-3不过原点，它与x轴交点为a(-3，0)，与y轴交点为b(0，-3)，.
∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为，与两轴围成的三角形面积为。
总结升华】(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.
(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b（k≠0）中k、b的符号。
(3)直线y=kx+b（k≠0）与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b（k≠0）上的点在x轴上时，令y=0，则，交点为；当直线y=kx+b（k≠0）上的点在y轴上时，令x=0，则y=b，即交点为(0，b).
举一反三：变式】已知关于的方程。
1）求证：方程总有两个实数根；
2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；
3）设抛物线与轴交于点m，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点m，求的值。
答案】证明：（1），所以方程总有两个实数根。
解：（2）由（1），根据求根公式可知，方程的两根为： 即，由题意，有，即。
3）易知，抛物线与y轴交点为m（0，）,由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1,0）和（,0），它们关于直线的对称点分别为（0,）和（0,），由题意，可得或，所以或。
3．抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（ ）
a．b=2，c=2 b．b=2，c=0 c．b=﹣2，c=﹣1 d．b=﹣3，c=2
思路点拨】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．
答案】b．解析】
解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4），原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x，b=2，c=0．
故选b．总结升华】
抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 ．
思路点拨】因为反比例函数的图象在第。
一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k＜0，将解方程组。
转化成关于x的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可．
答案】.解析】由反比例函数的性质可知，的图象在第。
一、三象限，当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0，解方程组，得kx2+x-1=0，当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0，解得，两函数图象无公共点时，．
故答案为：.
总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x的一元二次方程，再确定k的取值范围．
类型。三、函数综合题。
5．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结论中正确的是（ ）
中考总复习 函数综合 知识讲解 基础
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