中考总复习 函数综合 知识讲解 基础

发布 2021-05-15 02:11:28 阅读 5207

中考总复习:函数综合—知识讲解(基础)

考纲要求】1.平面直角坐标系的有关知识。

平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征,求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标,求线段的长度,几何图形的面积,求某些点的坐标等;

2.函数的有关概念。

求函数自变量的取值范围,求函数值、函数的图象、函数的表示方法;

3.函数的图象和性质。

常见的题目是确定图象的位置,利用函数的图象确定某些字母的取值,利用函数的性质解决某些问题.利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势,又能反过来判定函数图象的位置;

4.函数的解析式。

求函数的解析式,求抛物线的顶点坐标、对称轴方程,利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值.

一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题.

知识网络】考点梳理】

考点。一、平面直角坐标系。

1.相关概念。

(1)平面直角坐标系。

(2)象限。

(3)点的坐标。

2.各象限内点的坐标的符号特征。

3.特殊位置点的坐标。

(1)坐标轴上的点。

(2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标。

(3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标。

(4)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标。

4.距离。1)平面上一点到x轴、y轴、原点的距离。

2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离。

3)平面上任意两点间的距离。

5.坐标方法的简单应用。

1)利用坐标表示地理位置。

2)利用坐标表示平移。

要点诠释:点p(x,y)到坐标轴及原点的距离:

1)点p(x,y)到x轴的距离等于;

2)点p(x,y)到y轴的距离等于;

3)点p(x,y)到原点的距离等于。

考点。二、函数及其图象。

1.变量与常量。

2.函数的概念。

3.函数的自变量的取值范围。

4.函数值。

5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法)

6.函数图象。

要点诠释:由函数解析式画其图像的一般步骤:

1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;

2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;

3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点。三、一次函数。

1.正比例函数的意义

2.一次函数的意义

3.正比例函数与一次函数的性质。

4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系。

5.利用一次函数解决实际问题。

要点诠释:确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k;确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法。

考点。四、反比例函数。

1.反比例函数的概念。

2.反比例函数的图象及性质。

3.利用反比例函数解决实际问题。

要点诠释:反比例函数中反比例系数的几何意义,如下图,过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线pm,pn,垂足为m、n,则所得的矩形pmon的面积s=pmpn=.

考点。五、二次函数。

1.二次函数的概念。

2.二次函数的图象及性质。

3.二次函数与一元二次方程的关系。

4.利用二次函数解决实际问题。

要点诠释:1、两点间距离公式(当遇到没有思路的问题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)

如图:点a坐标为(x1,y1),点b坐标为(x2,y2),则ab间的距离,即线段ab的长度为。

2、函数平移规律:左加右减、上加下减。

考点。六、函数的应用。

1.一次函数的实际应用。

2. 反比例函数的实际应用。

3. 二次函数的实际应用。

要点诠释:分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式(或图象)也不同的函数,分段函数的应用题多设计成两种情况以上,解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,因此,分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

典型例题】类型。

一、用函数的概念与性质解题

1. 已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b),求字母a, b的取值范围,使得:

(1)y随x的增大而增大;

(2)函数图象与y轴的交点在x轴的下方;

(3)函数的图象过第。

一、二、四象限。

思路点拨】(1)y=kx+b (k≠0)的图象,当k>0时,y随x的增大而增大;

2)当b<0时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方;

3)当k<0, b>0时时,函数的图象过第。

一、二、四象限。

答案与解析】

解:a、b的取值范围应分别满足:

(1)由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知:

当k>0时,函数值y随x的增大而增大,即3a-2>0,

∴, 且b取任何实数。

(2)函数图象与y轴的交点为(0,1-b),

∵ 交点在x轴的下方,

∴ ,即a≠, b>1.

(3)函数图象过第。

一、二、四象限,则必须满足 .

总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图,如图1,当k>0时,y随x的增大而增大;当b>0时,图象过。

一、二、三象限,当b=0时,是正比例函数,当b<0时,图象过。

一、三、四象限;当y=x时,图象过。

一、三象限,且是它的角平分线。由于常数k、b不同,可得到不同的函数,k决定直线与x轴夹角的大小,b 决定直线与y轴交点的位置,由k定向,由b定点。同样,如图2,是k<0的各种情况,请你指出它们的图象的特点和性质。

举一反三:变式】作出函数y=x,,的图象,它们是不是同一个函数?

答案】 函数的自变量x的取值范围是x≥0;函数在x≠0时,就是函数y=x;而x=0不在函数的自变量x的取值范围之内。

由此,作图如下:

可见它们不是同一个函数。

类型。二、函数图象及性质。

2.已知:(1)m为何值时,它是一次函数。

(2)当它是一次函数时,画出草图,指出它的图象经过哪几个象限?y是随x的增大而增大还是减小?

(3)当图象不过原点时,求出该图象与坐标轴交点间的距离,及图象与两轴所围成的三角形面积。

思路点拨】一次函数应满足:一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.

答案与解析】

1)依题意:,解得m=1或m=4.

∴当m=1或m=4时,它是一次函数。

(2)当m=4时,函数为y=2x,是正比例函数,图象过一,三象限,y随x的增大而增大。

当m=1时,函数为y=-x-3,直线过二,三,四象限,y随x的增大而减小。

3)直线y=-x-3不过原点,它与x轴交点为a(-3,0),与y轴交点为b(0,-3),.

∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为,与两轴围成的三角形面积为。

总结升华】(1)某函数是一次函数应满足的条件是:一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:常数项为0.

(2)判断函数的增减性,关键是确定直线y=kx+b(k≠0)中k、b的符号。

(3)直线y=kx+b(k≠0)与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求,当直线y=kx+b(k≠0)上的点在x轴上时,令y=0,则,交点为;当直线y=kx+b(k≠0)上的点在y轴上时,令x=0,则y=b,即交点为(0,b).

举一反三:变式】已知关于的方程。

1)求证:方程总有两个实数根;

2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围;

3)设抛物线与轴交于点m,若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点m,求的值。

答案】证明:(1),所以方程总有两个实数根。

解:(2)由(1),根据求根公式可知,方程的两根为: 即,由题意,有,即。

3)易知,抛物线与y轴交点为m(0,),由(2)可知抛物线与x轴的交点为(1,0)和(,0),它们关于直线的对称点分别为(0,)和(0,),由题意,可得或,所以或。

3.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3,则b、c的值为( )

a.b=2,c=2 b.b=2,c=0 c.b=﹣2,c=﹣1 d.b=﹣3,c=2

思路点拨】易得新抛物线的顶点,根据平移转换可得原抛物线顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式,展开即可得到b,c的值.

答案】b.解析】

解:由题意得新抛物线的顶点为(1,﹣4),原抛物线的顶点为(﹣1,﹣1),设原抛物线的解析式为y=(x﹣h)2+k代入得:y=(x+1)2﹣1=x2+2x,b=2,c=0.

故选b.总结升华】

抛物线的平移不改变二次项系数的值;讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.

4.若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点,则实数k的取值范围是 .

思路点拨】因为反比例函数的图象在第。

一、三象限,故一次函数y=kx+1中,k<0,将解方程组。

转化成关于x的一元二次方程,当两函数图象没有公共点时,只需△<0即可.

答案】.解析】由反比例函数的性质可知,的图象在第。

一、三象限,当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时,k<0,解方程组,得kx2+x-1=0,当两函数图象没有公共点时,△<0,即1+4k<0,解得,两函数图象无公共点时,.

故答案为:.

总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.关键是转化成关于x的一元二次方程,再确定k的取值范围.

类型。三、函数综合题。

5.已知点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数y=的图象上.下列结论中正确的是( )

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