专业英语最后一课。
完全手打，到半夜近三点，已经处于无意识状态，对于以下内容的正确性不做任何保证。
你可以不看的，出了问题不要找我。
p7/8-,andpossibly,thoughnotnecessarily,>x0)(2.1)
假设f是一个定义在固定值x0邻域内所有值上的函数，并可能在x0也（有定义），但不是必要的。我们希望为如下表达附加一个明确的含义：当x趋向于x0时，f（x）趋向于a（或逼近到极限值a）.
这个表达的符号形式是limfx=a(x->x0)（2.1）
thearrowisusedasasymbolfortheword"approaches".sometimesassertion(2.1)isexpressedintheformf(x)->aasx->>8asx->2,(b)略
符号a被理解成代表某个特定的实数。那个箭头被用作为单词“趋向于“的符号。有时候断言（2.
1）被表示为“当x->x0时，f(x)->a”的形式。下面是这类表达的三个典型例子：（一）符号部分略，注意条件放前面，或者把条件放在后面的括号里。
p8/4-(2.1)takestimesandexperience...oneneedstolearnbyexamplehowafunctionf(x)mayfailtoapproachalimitasxapproachesx0.
断言（2.1）含义的正式定义的领悟需要时间和经验。这个正式的定义是准确推理涉及极限的概念的事务的基础。
但是，形成对极限概念的直观理解也是很重要的。（以上）这一过程可以通过考虑大量实例性例子或观察极限概念在微积分发展中的使用方式来完成。需要通过例子去学习当x趋向于x0时，函数f（x）未能趋向于一个极限的情况。
p11/13-17noticethatpart3,.in3,-valuedfunction;in4weh**ethederivativeofadotproductandin5,'.wele**etheproofasexercises.
注意到3,4和5部分是我们所能够定义各种乘积的乘法法则。在3中，我们有一个标量函数和一个向量值函数的导数，在4中我们有一个点积的导数，在5中，我们有一个叉积的导数。在这每一种情况下，重要的是你要认识到，他们遵循与两个标量函数乘积的导数的乘法法则相同的模式。
我们把证明留作为练习。
p15/solutionsincecotz=cosz/sinz,=npie,n=0,+-1,+_2……utilizingexample2withp(z)=cosz,q(z)=sinz,theresiduesatthesepointsaregivenbyres(cotz;npie)=略
1fromthelaurentexpansion.,whichwasobtainedforrationalfunctionsinsection3.1
例3。计算函数f(z)=cot(z)在每一个奇点的留数。
解：因为cotz=cosz/sinz，（所以）这个函数的奇点是在点z=npie,n=0,+-1,+_2……利用例2让p(z)=cosz,q(z)=sinz，在这些点的留数为res(cotz;npie)=略
为了获得一个在m阶极点处留数的一般公式，我们需要某种一些从洛朗展开式中提取系数a-1的方法。读者在理解下一个公式的推导中将不会碰到困难，这个公式由3.1节的有理函数中得到。
p22/ 最后命题由对m的归纳来证明了。当m=1时，这个命题是，如果a1是可逆则a1-1是a1逆，这是显而易见的。接下来，我们假定m=k时那个（命题）是成立的，我们对m=k+1时的这个命题进行检查。
我们假设a1...ak+1是n*n的可逆矩阵，我们用p来表示前k个矩阵的乘积a1……ak。由归纳假设，p是可逆的，其逆为ak-1...
a1-1。此外，ak+1是可逆的。因此，由对两个可逆矩阵的证明的结果，pak+1=a1……akak+1是可逆的，其逆为ak+1-1p-1=ak+1-1……a1-1。
这表明，命题对m=k+1成立，这结束了归纳法证明。
p25/8-14asthetermisusedinthepreviousparagraph,ageneralsolutionofafirst-orderdifferentialequationissimplyaone-parameterfamilyofsolutions..whenthisisknowntobetrue.,.
forexample,becauseanytwoantiderivativesofthesamefunctionf(x)candifferonlybyaconstant,itfollowsthateverysolutionofequation(5.1)isoftheforminequation(5.2).
thusequation(5.2)servestodefinethegeneralsolutionofequation(5.1).
作为在上段中使用的术语，一阶微分方程的一般解只不过是一个单参数的解族。一个自然的问题是，是否一个给定的一般解包含的一个微分方程的所有特解。当这一点成立时，我们把它叫做微分方程的通解。
例如，因为相同的函数的任何两个原函数f（x）只能相差一个常数，这表明，方程（5.1）的每一个解都有式子（5.2）的形式。
因此，式子（5.2）定义了方程（5.1）的通解。
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