一。 思路：
1. 读出信息(抓实质，明特例),找出通解；
2. 仿照证明(或计算),迁移变通。
二。 例题讲解：
第一类型。例1. （朝阳22题）
已知：如图，ab为⊙o的直径，ac、bc为弦，点p为上一点，ab=10，ac∶bc=3∶4．
1）当点p与点c关于直线ab对称时（如图①），求pc的长；
2）当点p为的中点时（如图②），求pc的长．
22．（本小题满分5分）
解：(1)在⊙o中，如图①
ab是直径， ∴acb＝90゜．
点p与点c关于ab对称， ∴pc⊥ab，且cd＝dp．
由三角形面积得。
ab＝10由勾股定理求得ac＝6，bc＝8．
cd＝．∴pc＝2cd＝．
2) 过点b作be⊥pc于点e，连结pb
由(1)得ac＝6，bc＝8．
点p为的中点，∴∠acp＝∠bcp＝45图②
在rt△bec中，可求得ce＝be分。
∠a＝∠p，∠acb＝∠bec＝90°，tan∠p= tan∠a． ∴
pc＝ce＋ep分。
例2. (朝阳23题)
已知：如图，在梯形abcd中，ad∥bc，bc=3ad．
1）如图①，连接ac，如果三角形adc的面积为6，求梯形abcd的面积；
2）如图②，e是腰ab上一点，连结ce，设△bce和四边形aecd的面积分别为和，且，求的值；
3）如图③，ab=cd，如果ce⊥ab于点e，且be=3ae，求∠b的度数．
解：（1）在梯形abcd中，
ad∥bc， 又△adc与△abc等高，且bc=3ad，， 1分。
2) 方法1：连接ac，如图①,设△aec的面积为，则△acd的面积为s2-s3，由（1）和已知可得。
解得：s1=4s3 ．
△aec与△bec等高4分。
方法2：延长ba、cd相交于点f，如图②
ad∥bc，∴△fad∽△fbc， ∴
设=a，则=9a， =8a，又∵，∴a， a ， a.
△efc与△ceb等高，设fe=7k，则be=8k，fb=15k，∴fa=fb=5k. ∴ae=7k-5k=2k．
4分。3）延长ba、cd相交于点m. 如图③，ad∥bc，∴△mad∽△mbc，∴.
mb=3ma. 设ma=2x，则mb=6x . ab=4x.
be=3ae， ∴be=3x，ae=x.
be=em=3x，e为mb的中点。
又∵ce⊥ab， ∴cb=mc.
又∵mb=mc， ∴mbc为等边三角形图③
∠b=607分。
配套练习：1. （西城二模25题）
设点e是平行四边形abcd的边ab的中点，、f是bc边上一点，线段de和af相交于点p，点q**段de上，且aq//pc.
1） 证明：pc=2aq；
2） 当点f为bc的中点时，试比较和梯形apcq面积的大小关系，并对你的结论加以证明。
解： (1)延长de,cb相交于点r,作bm//pc.--1分。
aq//pc, bm//pc,是ab的中点，d、e、r三点共线，3分。
同理≌.相似比是。
4分。另解：连结ac交pq于点k1分。
易证∽2分。
3分。即pc=2aq4分。
2)作bn//af,交rd于点n5分。
是bc的中点，rb=bc,易证≌.
6分。因pfc(视pc为底)与梯形apcq的高的比等于中pc边高的比易知即等于pf与ap的比，于是设pfc中pc边的高=3k,梯形apcq的高=2k.再设aq=a, 则pc=2a.
3ka因此7分。
2．已知：如图，在正方形abcd中，点g是bc延长线一点，连结ag，分别交bd、cd于点e、f．
1）求证：；
2）当cg=ce时，试判断cf与eg之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
3）在（2）的条件下，求的值．
1）证明：∵四边形abcd是正方形，ad=cd，∠ade=∠cde．
de=de，△ade≌△cde1分。
∠dae=∠dce2分。
证明：∵四边形abcd是正方形，∴ad∥bc，∠dcb=90°．
∴∠dae=∠g．
∴∠dce=∠g．
∵cg=ce，∴∠1=∠g．
∴∠dce=∠1．
∴cf=ef3分。
∵∠2=∠1+∠dce=2∠1=2∠g，又∵∠dcg=180°-∠dcb=90°，∴g=30°．
4分。5分。
3）设，则，．
在rt△cfg中，．
∵△ade≌△cde，ae=ce=cg．
af=ae+ef=．
ad∥bc，△adf∽△gcf
7分。第二类型。
例1. （朝阳24题）
已知：在等边△abc中，点d、ｅ、分别为边ab、bc、ac的中点，点g为直线bc上一动点，当点g在cb延长线上时，有结论“在直线ef上存在一点h，使得△dgh是等边三角形”成立（如图①），且当点g与点b、e、c重合时，该结论也一定成立．
问题：当点g在直线bc的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．
图①图图③
证明：连接de、ef、df.
1）当点g**段be上时，如图①，在ef上截取eh使eh=bg．
d、e、f是等边△abc三边中点，△def、△dbe也是等边三角形且de=ab=bd.
在△dbg和△deh中，△dbg≌△deh. ∴dg=dh. ∴bdg=∠edh.
∠bde=∠gde+∠bdg=60°，∠gdh=∠gde+∠edh=60°
在直线ef上存在点h使得△dgh是等边三角形3分。
2）当点g在射线ec上时，如图②，在ef上截取eh使eh=bg．
由（1）可证△dbg≌△deh.
dg=dh，∠bdg=∠edh.
∠bde=∠bdg-∠edg=60°，∠gdh=∠edh-∠edg=60°.
在直线ef上存在点h使得△dgh是等边三角形。 …6分。
3）当点g在bc延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立。 …7分。
综上所述，点g在直线bc上的任意位置时，该结论成立。
配套练习：1．已知：如图①，△abc为边长为2的等边三角形，d、e、f分别为ab、ac、bc中点，联结de、df、ef．将△bdf向右平移，使点b与点c重合；将△ade向下平移，使点a与点c重合，如图②．
1）设△ade、△bdf、△efc的面积分别为 s1、s2、s3，则s1+s2+s3用“、、填空）
2）已知：如图③，∠aob=∠cod=∠eof=60°，ad=cf=be=2，设△abo、△cdo、△efo的面积分别为s1、s2、s3；问：上述结论是否成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。（可利用图④进行**）
解：（1）s1+s2+s3 <2分。
（2）结论成立3分。
证明一：延长ob到h使bh=oe
延长oa到g使ag=od
联结hg4分。
∵oa+ag=oa+do=ad=2
ob+bh=ob+oe=be=2
∠aob=60°
∴△gho是等边三角形。
∵og=oh=hg=2
s△gho5分。
在hg上取点m,使mg=oc
hm+mg=hg=2
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